[论文解读] Equivariant Systems Theory and Observer Design

Robert Mahony, Tarek Hamel+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2020

Robotics and Sensor-Based Localization参考文献 50被引用 25

一句话总结

本文通过利用等变系统理论和李群对称性，为在齐性空间上的非线性系统的观测器设计建立了一个基础框架。它引入了等变输入扩展和升维误差动力学，以实现稳定且近乎全局的观测器设计，关键结果表明：通过在对称性群上使用保持对称性的结构，而非直接在状态流形上，可实现误差动力学的解耦与稳定化。

ABSTRACT

A wide range of system models in modern robotics and avionics applications admit natural symmetries. Such systems are termed equivariant and the structure provided by the symmetry is a powerful tool in the design of observers. Significant progress has been made in the last ten years in the design of filters and observers for attitude and pose estimation, tracking of homographies, and velocity aided attitude estimation, by exploiting their inherent Lie-group state-space structure. However, little work has been done for systems on homogeneous spaces, that is systems on manifolds on which a Lie-group acts rather than systems on the Lie-group itself. Recent research in robotic vision has discovered symmetries and equivariant structure on homogeneous spaces for a host of problems including the key problems of visual odometry and visual simultaneous localisation and mapping. These discoveries motivate a deeper look at the structure of equivariant systems on homogeneous spaces. This paper provides a comprehensive development of the foundation theory required to undertake observer and filter design for such systems.

研究动机与目标

• 为具有齐性状态空间的系统观测器设计建立统一的理论基础，这类系统在现代机器人学与航空电子学中普遍存在。
• 解决在齐性流形上系统缺乏系统性观测器设计方法的问题，尽管这类系统在视觉里程计和SLAM等问题中广泛存在。
• 形式化对称性与等变性在观测器设计中的应用，特别是通过将动力学提升至对称性群，以简化误差分析。
• 证明通过利用状态空间的几何结构并采用等变扩展，可显著提升观测器的稳定性和性能。
• 提供一种适用于广泛系统类别的通用方法论，包括SO(3)、SE(3)、SL(3)以及新型结构TSO(3)和TSE(3)。

提出的方法

• 本文引入了系统升维的概念，将齐性空间上的系统映射至其对称性李群上的对应系统，从而可通过群结构进行分析。
• 它定义了等变输入扩展，使得输入在群作用下一致变换，从而在动力学中保持对称性。
• 通过伴随表示和群作用的微分，以群作用的形式表达误差动力学，从而实现误差的不变性表述。
• 一个关键创新是使用等变升维 Λ: M × V → g，将误差动力学转换为一种形式，使得外生输入仅通过变换后的输入 w(t) = ψ_X^{-1}(v(t)) 依赖于观测器状态。
• 由此产生的误差动力学（公式48）与完整状态解耦，仅依赖于误差 e 和变换后的输入 w(t)，使其易于稳定化。
• 观测器架构通过一个非线性创新函数 Δ_t 定义，该函数稳定不变误差动力学，其设计选择基于扩展卡尔曼滤波原理或构造性非线性设计。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将观测器设计系统性地推广至状态空间为齐性流形而非李群的系统？
• RQ2 等变性与群对称性在实现非线性系统稳定、全局收敛观测器设计中起到什么作用？
• RQ3 如何通过将系统升维至对称性群，使误差动力学与完整系统状态解耦？
• RQ4 存在何种条件可确保不变误差的存在，以用于稳定观测器？
• RQ5 如何对系统输入进行等变扩展，以在观测器动力学中保持对称性？

主要发现

• 本文确立了：对于任何在齐性空间上的运动学系统，通过将系统升维至对称性群，可构造出等变观测器，从而实现稳定的误差动力学。
• 在升维框架下表达的误差动力学仅依赖于误差 e 和变换后的输入 w(t)，该输入与完整状态无关，从而简化了稳定化过程。
• 证明了不变误差的存在性，并表明当创新函数设计得当时，该误差可用于定义全局稳定的观测器。
• 所提出的框架将现有方法（如IEKF和MEKF）推广至齐性空间上的系统，使其适用范围超越李群状态空间。
• 该框架实现了观测器的近乎全局渐近稳定性，如先前在视觉SLAM和速度辅助姿态估计中的研究所示。
• 该理论为设计在机器人学与航空电子学中表现出齐性流形对称性的新问题的观测器提供了基础。