[论文解读] Erasures repair for decreasing monomial-Cartesian and augmented Reed-Muller codes of high rate

Hiram H. López, Gretchen L. Matthews+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2021

Coding theory and cryptography参考文献 16被引用 4

一句话总结

本文提出了增强型Reed-Muller（ARM）码和增强型Cartesian（ACar）码——通过向Reed-Muller码和Cartesian码中添加向量而形成的评估码——以实现对单个或两个符号擦除的高效线性精确修复。与以往方案不同，ARM和ACar码在双符号擦除情况下的修复无需位置限制，且在固定维度或长度下，其带宽低于Reed-Solomon码或Hermitian码。渐近分析表明，随着扩展度增加，ARM和ACar码可实现接近1的速率和趋近于0的带宽。

ABSTRACT

In this work, we present linear exact repair schemes for one or two erasures in decreasing monomial-Cartesian codes DM-CC, a family of codes which provides a framework for polar codes. In the case of two erasures, the positions of the erasures should satisfy a certain restriction. We present families of augmented Reed-Muller (ARM) and augmented Cartesian codes (ACar) which are families of evaluation codes obtained by strategically adding vectors to Reed-Muller and Cartesian codes, respectively. We develop repair schemes for one or two erasures for these families of augmented codes. Unlike the repair scheme for two erasures of DM-CC, the repair scheme for two erasures for the augmented codes has no restrictions on the positions of the erasures. When the dimension and base field are fixed, we give examples where ARM and ACar codes provide a lower bandwidth (resp., bitwidth) in comparison with Reed-Solomon (resp., Hermitian) codes. When the length and base field are fixed, we give examples where ACar codes provide a lower bandwidth in comparison with ARM. Finally, we analyze the asymptotic behavior when the augmented codes achieve the maximum rate.

研究动机与目标

• 开发高码率评估码中单个或两个符号擦除的修复方案，特别是针对现有方案（如GW方案）不适用的情况。
• 通过向标准Reed-Muller码和Cartesian码中添加向量，设计增强型Reed-Muller（ARM）码和增强型Cartesian（ACar）码，以提升维度并实现更广泛条件下的修复能力。
• 在固定维度或长度下，比较ARM和ACar码与Reed-Solomon码及Hermitian码的带宽和比特宽度。
• 分析这些码在扩展度t趋于无穷大时的渐近行为，重点关注码率和带宽。
• 证明ARM和ACar码在极限情况下可实现接近1的高码率与趋近于0的低修复带宽。

提出的方法

• 本文通过在扩展域K = Fqt上对Reed-Muller码和Cartesian码分别添加特定向量，构造ARM码和ACar码作为评估码，以提升其维度。
• 利用子符号（subsymbols）和域迹函数TrK/Fq，提出线性精确修复方案，以最小化数据下载量来恢复被擦除的符号。
• 对于单个符号擦除，修复方案利用迹函数和子符号分解，对ARM码实现带宽b = |K|m −1 + (t−1)(|K|m−1 −1)。
• 对于两个符号擦除，该方案在DM-CC中要求擦除位置满足特定代数条件，但ARM和ACar码无此类限制。
• 在t → ∞时，对带宽和码率进行渐近分析，表明最优参数选择下，limt→∞ 带宽/nt → 0 且 limt→∞ 码率 → 1。
• 通过不同评估集（如ni = qt−1 + 1，ni = qt−1，或nm = 2qt−1）的实例，展示码率在0到1 − 1/qm之间的不同渐近极限。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在GW方案不适用的高码率评估码中，为单个或两个符号擦除设计修复方案？
• RQ2 在固定维度或长度下，增强型Reed-Muller码和增强型Cartesian码是否比Reed-Solomon码或Hermitian码具有更低的修复带宽？
• RQ3 当扩展度t → ∞时，ARM和ACar码的码率和带宽的渐近行为如何？
• RQ4 评估集的选择如何影响ACar码在渐近区域的可实现码率和带宽？
• RQ5 能否设计ACar码，使其在避免擦除位置限制的前提下实现高码率与低修复带宽？

主要发现

• 在固定维度和基域下，ARM码在某些参数范围内比Reed-Solomon码具有更低的带宽，且比Hermitian码具有更低的比特宽度。
• 当长度和基域固定时，ACar码在特定示例中可实现比ARM码更低的带宽。
• ARM2(Km, k∗)的渐近码率随t → ∞趋近于1，带宽/nt趋近于0。
• 对于ACar1(S, k∗)且所有i满足ni = qt−1 + 1时，渐近码率趋近于0；但当i < m时ni = qt−1且nm = 2qt−1时，码率趋近于1/2。
• 当|S| = Km时，ACar1(S, k∗)的渐近码率趋近于1 − 1/qm，与ARM1码的极限一致。
• 在所有情况下，带宽/nt在t → ∞时趋近于0，表明在渐近区域具有高效的修复性能。