[论文解读] Erdős-Ko-Rado problems for permutation groups

Cai Heng Li, Shu Jiao Song+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 18, 2020

Finite Group Theory Research被引用 8

一句话总结

本文研究了置换群中的Erdős-Ko-Rado（EKR）性质，表明虽然2-传递群和Frobenius群满足EKR性质（最大相交集合的大小受点稳定子大小的限制），但一般传递群可能任意地违反该界。关键贡献在于证明了对于本原群，不存在绝对常数能限制最大相交集合大小与稳定子大小之比，且所有素数幂次数的置换群均满足EKR性质。

ABSTRACT

In this paper, we study intersecting sets in primitive and quasiprimitive permutation groups. Let $G \leqslant \mathrm{Sym}(Ω)$ be a transitive permutation group, and ${S}$ an intersecting set. Previous results show that if $G$ is either 2-transitive or a Frobenius group, then $|{S}|\leqslant|G_ω|$ (for some $ω\in Ω$). Furthermore, for some 2-transitive groups, $|{S}|=|G_ω|$ if and only if ${S}$ is a coset of a stabilizer. In this paper, we prove that these statements are far from the truth for general transitive groups. In particular, we show that in the case of primitive groups, there is even no absolute constant $c$ such that $|{S}|\leqslant c|G_ω|$. In the case $G$ is a primitive permutation group isomorphic to $\mathrm{PSL(2,p)}$, we characterize the subgroups of $G$ which are intersecting sets. We also show that if $G \leqslant \mathrm{Sym}(Ω)$ is a permutation group of prime power degree, then for any intersecting set $S$, we have $|S|\leq |G_ω|$ (for some $ω\in Ω$). This proves a part of a conjecture in \cite{MRS}.

研究动机与目标

• 研究传递置换群中最大相交集合的大小是否如2-传递群和Frobenius群一样，受点稳定子大小的限制。
• 确定最大相交集合是否总是点稳定子的陪集，即严格EKR性质是否成立。
• 对同构于PSL(2,p)的本原群中的相交集合进行特征刻画，并探讨拟本原群和本原群中的EKR性质。
• 证明所有素数幂次数的置换群均满足EKR性质，从而证实[17]中的一个猜想。

提出的方法

• 定义比值 ρ(G, Ω) = |S| / |Gω|，其中 S 为最大相交集合，Gω 为点稳定子，以衡量与EKR性质的偏离程度。
• 构造无限族的传递群，使得 ρ(G, Ω) 可以任意大，从而证明EKR性质在一般情况下不成立。
• 利用p-群中存在严格传递集合的事实，证明传递p-群（因此所有素数幂次数的群）满足EKR性质。
• 应用引理2.4，该引理将严格传递集合的存在性与EKR性质联系起来，表明此类集合可推出群满足EKR性质。
• 分析Frobenius群，证明当 |H| ≥ 3 时，存在不是稳定子陪集的最大相交集合，因此违反严格EKR性质。
• 利用群作用理论、正规子群和轨道结构（例如Q8在SL(2,3)中的正则作用）来构造非Frobenius群中非陪集的相交集合。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于传递置换群，比值 ρ(G, Ω) = |S| / |Gω| 是否可以任意大，即使G是本原群？
• RQ2 所有素数幂次数的置换群是否都满足EKR性质（即 |S| ≤ |Gω|）？
• RQ3 对于同构于PSL(2,p)的本原群，哪些子群是相交集合？
• RQ4 在什么条件下，最大相交集合不是点稳定子的陪集，这与严格EKR性质有何关联？
• RQ5 p-群中存在严格传递集合是否意味着该群满足EKR性质？

主要发现

• 存在传递置换群，其比值 ρ(G, Ω) 可以任意大，因此不存在绝对常数 c 使得对所有此类群都有 |S| ≤ c|Gω|。
• 对于同构于PSL(2,p)的本原群，本文对作为相交集合的子群进行了特征刻画，提供了结构分类。
• 所有素数幂次数的置换群均满足EKR性质，该结论通过p-群中严格传递集合的存在性得以证明。
• EKR性质对所有传递p-群成立，且通过Sylow子群分析可推广至任意素数幂次数的传递群。
• 在满足 |H| ≥ 3 的Frobenius群中，存在不是点稳定子陪集的最大相交集合，因此严格EKR性质不成立。
• 通过陪集并集（例如 S = (H ackslash {h}) ∪ {ch}）构造相交集合，表明在非Frobenius群（如SL(2,3)）中存在非陪集的最大相交集合。