[论文解读] Erdös-Pósa Property of Obstructions to Interval Graphs

Amiri, Saeed Akhoondian, Kawarabayashi, Ken-Ichi+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2016

Advanced Graph Theory Research参考文献 8被引用 6

一句话总结

本文對有向圖在拓撲與蝴蝶 minor 之下完全表徵了 Erdös-Pósa 性質，證明了強連通有向圖 H 具有此性質當且僅當其為某個圓柱形網格或牆的 minor。對於點循環有向圖（即無平凡強連通分量者），本文建立了近乎完整的結構條件——超同構性、最大度數至多為 3，以及可嵌入圓柱形網格——並提出一種基於有向樹分解的演算法框架，以實現不相交模型或擊倒集的多項式時間計算。

ABSTRACT

A classical result by Erdos and Posa states that there is a function $f: {\mathbb N} ightarrow {\mathbb N}$ such that for every $k$, every graph $G$ contains $k$ pairwise vertex disjoint cycles or a set $T$ of at most $f(k)$ vertices such that $G-T$ is acyclic. The generalisation of this result to directed graphs is known as Younger's conjecture and was proved by Reed, Robertson, Seymour and Thomas in 1996. This so-called Erdos-Posa-property can naturally be generalised to arbitrary graphs and digraphs. Robertson and Seymour proved that a graph $H$ has the Erdos-Posa-property if, and only if, $H$ is planar. In this paper we study the corresponding problem for digraphs. We obtain a complete characterisation of the class of strongly connected digraphs which have the Erdos-Posa-property (both for topological and butterfly minors). We also generalise this result to classes of digraphs which are not strongly connected. In particular, we study the class of vertex-cyclic digraphs (digraphs without trivial strong components). For this natural class of digraphs we obtain a nearly complete characterisation of the digraphs within this class with the Erdos-Posa-property. In particular we give positive and algorithmic examples of digraphs with the Erdos-Posa-property by using directed tree decompositions in a novel way.

研究动机与目标

• 透過表徵哪些有向圖在拓撲與蝴蝶 minor 之下具有 Erdös-Pósa 性質，將古典 Erdös-Pósa 定理從無向圖推廣至有向圖。
• 對具有 Erdös-Pósa 性質的強連通有向圖進行完整分類，將 Robertson 和 Seymour 的平面圖特徵化推廣至有向設定。
• 將此特徵化推廣至更廣泛的點循環有向圖類別——即無平凡強連通分量者——提供結構與演算法上的洞見。
• 發展一種新的演算法框架，利用有向樹分解，以計算給定有向圖 H 的 k 個不相交模型，或能摧毀所有此類模型的頂點小擊倒集。

提出的方法

• 使用有向樹分解分析有向圖結構，特別是具有有界有向樹寬者，以實現子圖的遞迴分解與分析。
• 引入並應用圓柱形牆（或網格）作為通用結構：有向圖 H 具有 Erdös-Pósa 性質當且僅當其為某個足夠高階的圓柱形牆的拓撲或蝴蝶 minor。
• 運用字典序最小性與集合節點上的最小性論證，以確保分解過程中的結構完整性，並避免重複或非最小配置。
• 應用引理 5.8 於 l-簇二分圖，以處理子圖中不相交模型與擊倒集，特別是在環與路徑被分離的區域。
• 透過在分解子圖中迭代消除環與路徑，構造擊倒集，並利用樹寬與 minor 包含的界以確保正確性。
• 使用定理 3.10（關於有向樹寬與牆包含）觸發當樹寬超過某閾值時存在 k 個不相交模型；否則應用歸納法尋找小擊倒集。

实验结果

研究问题

• RQ1 對於哪些強連通有向圖，其在拓撲與蝴蝶 minor 之下具有 Erdös-Pósa 性質？
• RQ2 Robertson-Seymour 對具有 Erdös-Pósa 性質的平面圖的特徵化能否推廣至有向設定？
• RQ3 哪些結構條件可表徵點循環有向圖（無平凡強連通分量者）的 Erdös-Pósa 性質？
• RQ4 有向樹分解能否被用於演算法上，以計算給定有向圖 H 的 k 個不相交模型，或能摧毀所有此類模型的小擊倒集？
• RQ5 在一般有向圖 G 中，判斷是否存在 k 個不相交模型或小擊倒集的計算複雜度為何？

主要发现

• 強連通有向圖 H 在拓撲或蝴蝶 minor 之下具有 Erdös-Pósa 性質，當且僅當 H 為某個足夠大階的圓柱形牆的 minor。
• 對於每一個滿足上述條件的固定強連通有向圖 H，存在一個多項式時間演算法，可找出 G 中 k 個不相交的拓撲（或蝴蝶）模型，或計算出大小至多為 f(k) 的擊倒集，以摧毀所有此類模型。
• 對於點循環有向圖，Erdös-Pósa 性質意味著 H 必須在拓撲或蝴蝶嵌入下為超同構，最大度數至多為 3，且每個強連通分量必須為某個圓柱形牆的 minor。
• 本文構造了一個具體範例：一個由兩條不相交的環透過單條邊連接而成的有向圖 H，具有 Erdös-Pósa 性質，其擊倒集大小受 h(|H| + k) 界定，對任意 k 成立。
• 針對此範例，存在一個多項式時間演算法，可找出 k 個不相交的拓撲模型 H，或計算出大小至多為 h(|H| + k) 的擊倒集。
• 本研究的證明技術基於有向樹分解與結構分解，具有新穎性，對未來有向圖 minor 與參數化演算法的研究可能具有獨立興趣。