[论文解读] Ergodic components and topological entropy in geodesic flows of surfaces

Jan Philipp Schröder|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2014

Advanced Differential Geometry Research参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文研究在可逆Finsler度量下，2-球面与2-环面的测地流在拓扑熵为零时的情形。利用Katok的构造方法以及Franks与Handel关于Birkhoff环形区域的结果，证明了当存在至少两条闭测地线且所有测地线均具有共轭点时，在2-球面上，若测地流在全单位切丛上具有零拓扑熵，则其不可能是遍历的，也不存在稠密轨道——这意味着出现双曲性与正熵。在2-环面上，遍历性被限制在流不变管状区域的真子集内。

ABSTRACT

We consider the geodesic flow of reversible Finsler metrics on the 2-sphere and the 2-torus, whose geodesic flow has vanishing topological entropy. Following a construction of A. Katok, we discuss examples of Finsler metrics on both surfaces, which have large ergodic components for the geodesic flow in the unit tangent bundle. On the other hand, using results of J. Franks and M. Handel, we prove that ergodicity and dense orbits cannot occur in the full unit tangent bundle of the 2-sphere, if the Finsler metric has positive flag curvatures and at least two closed geodesics. In the case of the 2-torus, we show that ergodicity is restricted to strict subsets of tubes between flow-invariant tori in the unit tangent bundle of the 2-torus.

研究动机与目标

• 理解在可逆Finsler度量下，2-球面与2-环面测地流在零拓扑熵时的遍历分量结构。
• 确定当流具有零熵时，稠密轨道或全遍历性是否可能在单位切丛中出现。
• 研究在2-球面上，共轭点与多条闭测地线对动力学的影响。
• 分析在2-环面上，特别是单位切丛中不变管状区域内的遍历性约束。
• 利用曲面动力系统与单调扭转映射的工具，建立精确的动力学限制。

提出的方法

• 应用Katok在2-球面上构造具有两条闭测地线且拓扑熵为零的Finsler度量的方法。
• 利用Birkhoff环形区域映射分析具有至少两条闭测地线的2-球面上测地流的动力学。
• 应用Franks与Handel关于单调扭转映射中周期点与不变集的结果，以限制流的结构。
• 采用Poincaré截面技术与首次返回映射，将流的拓扑熵与返回映射的熵联系起来。
• 将2-环面的单位切丛分析为不变环面的并集，并研究其间管状区域内的遍历分量。
• 利用流中零熵蕴含返回映射中零熵的事实，结合返回时间的统一有界性。

实验结果

研究问题

• RQ1 若可逆Finsler度量在2-球面上具有至少两条闭测地线且所有测地线均具有共轭点，且测地流在单位切丛上具有零拓扑熵，则其在整个单位切丛上是否可能为遍历？
• RQ2 当2-球面上的测地流在正旗曲率下具有稠密轨道且拓扑熵为零时，会产生何种动力学后果？
• RQ3 在可逆Finsler度量下，零熵条件下，遍历分量在2-球面单位切丛中可占据多大范围？
• RQ4 在零熵Finsler度量下，2-环面单位切丛中的遍历性受到何种限制？
• RQ5 单位切丛中流不变环面与管状区域在限制2-环面上遍历分量大小方面起何种作用？

主要发现

• 在2-球面上，若可逆Finsler度量具有至少两条闭测地线且所有测地线均具有共轭点，则当测地流具有零拓扑熵时，其在全单位切丛上不可能是遍历的。
• 在相同条件下，若2-球面单位切丛中存在稠密轨道，则必然导致正拓扑熵，与零熵假设矛盾。
• 当度量具有正旗曲率且至少存在两条闭测地线时，2-球面上的测地流在全单位切丛中不可能具有稠密轨道。
• 在2-环面上，具有零拓扑熵的测地流的遍历性被限制在单位切丛中流不变环面之间管状区域的真子集内。
• Katok的构造提供了可逆Finsler度量在2-球面上的实例，其具有零熵且包含两个在对径映射下对称的遍历分量，且可使它们的测度任意增大。
• 结果表明，当2-球面上存在共轭点与多条闭测地线时，若出现遍历性或稠密轨道，则必然导致双曲性——表现为正拓扑熵。