[论文解读] Ergodic decompositions of stationary max-stable processes in terms of their spectral functions

Clément Dombry, Zakhar Kabluchko|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 27被引用 27

一句话总结

本文通过 de Haan 表示中的谱函数，为平稳广义稳定过程提供了显式、路径相关的准则，用于将其分解为保守/发散和正/零组件。研究证明，谱函数为发散的充要条件是其几乎必然收敛于零，为零常返的充要条件是其在 Cèsaro 意义下收敛于零，并提出了一种新的分解以刻画混合性，该性质与几乎必然收敛于零不等价。

ABSTRACT

We revisit conservative/dissipative and positive/null decompositions of stationary max-stable processes. Originally, both decompositions were defined in an abstract way based on the underlying non-singular flow representation. We provide simple criteria which allow to tell whether a given spectral function belongs to the conservative/dissipative or positive/null part of the de Haan spectral representation. Specifically, we prove that a spectral function is null-recurrent iff it converges to $0$ in the Ces\\`{a}ro sense. For processes with locally bounded sample paths we show that a spectral function is dissipative iff it converges to $0$. Surprisingly, for such processes a spectral function is integrable a.s. iff it converges to $0$ a.s. Based on these results, we provide new criteria for ergodicity, mixing, and existence of a mixed moving maximum representation of a stationary max-stable process in terms of its spectral functions. In particular, we study a decomposition of max-stable processes which characterizes the mixing property.

研究动机与目标

• 为平稳广义稳定过程的保守/发散与正/零分解提供构造性、路径相关的准则，这些分解此前仅通过非奇异流以抽象方式定义。
• 解决缺乏基于谱函数的显式条件来判断过程是否为遍历、混合或具有混合移动最大表示的问题。
• 建立一种新的分解以刻画广义稳定过程中的混合性，该性质与几乎必然收敛于零不等价。
• 阐明谱函数样本路径行为与底层过程遍历理论性质之间的关系。
• 解决关于混合性是否能通过路径收敛于零来刻画的开放问题，表明该条件并不充分。

提出的方法

• 使用 de Haan 表示将平稳广义稳定过程表达为独立同分布的谱函数在泊松过程缩放下的逐点最大值。
• 将非奇异流中的遍历理论概念——特别是保守/发散与正/零分解——应用于谱函数。
• 证明对于局部有界样本路径，谱函数为发散的充要条件是其几乎必然收敛于零。
• 建立谱函数为零常返的充要条件是其在 Cèsaro 意义下收敛于零。
• 通过流表示引入一种新的混合与非混合成分分解，证明混合性成立当且仅当流的正部测度为零。
• 利用 Borel–Cantelli 引理与尾概率估计，验证反例中谱函数的收敛性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否直接从谱函数刻画平稳广义稳定过程的保守/发散与正/零分解？
• RQ2 是否存在谱函数的路径条件，以判断过程是否为遍历或混合？
• RQ3 谱函数几乎必然收敛于零是否意味着广义稳定过程为混合？
• RQ4 混合性质能否通过底层流的分解来刻画，其与零常返性有何区别？
• RQ5 谱函数的 Cèsaro 收敛与零常返分量之间存在何种关系？

主要发现

• 在过程具有局部有界样本路径的前提下，谱函数属于发散分量当且仅当其几乎必然收敛于零。
• 谱函数属于零常返分量当且仅当其在 Cèsaro 意义下收敛于零。
• 对于局部有界过程，谱函数几乎必然可积当且仅当其几乎必然收敛于零。
• 平稳广义稳定过程的混合性由流表示中正部测度为零的条件刻画。
• 混合性不蕴含谱函数几乎必然收敛于零，反之亦然，反例基于 Brown–Resnick 过程予以说明。
• 新的混合与非混合分量分解在流表示的选择下保持不变，确保其分布定义良好。