[论文解读] Ergodic Kneser-type Theorems for amenable groups

Michael Björklund, Alexander Fish|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2016

Advanced Topology and Set Theory被引用 3

一句话总结

本文通过证明在可数可约群 $G$ 的遍历测度保持作用下，作用集 $AB$ 的测度满足 $u(AB) \geq \min(1, d^*(A) + u(B))$，其中 $d^*(A)$ 是 $A$ 的上Banach密度，建立了可数可约群的Kneser型遍历定理。该结果将Kneser的经典密度定理推广至可约群，并通过Sturmian集刻画了极值情形。

ABSTRACT

We study in this paper expander sets for ergodic probability measure-preserving actions of countable amenable groups. Among other things, we show that if $G$ is a countable amenable group, $(Y, u)$ is an ergodic probability-measure preserving of $G$ and $A \subset G$ is a sufficiently aperiodic set, then, for every Borel $B \subset Y$ with positive $ u$-measure, we have \[ u(AB) \geq \min(1,d^*(A) + u(B) \big), \] where $AB$ denotes the action set $\cup_{a \in A} aB \subset Y$ and $d^*(A)$ the (left) upper Banach density of $A$. Furthermore, if every finite-index subgroup of $G$ acts ergodically on $(Y, u)$, and if the lower bound above is attained for some Borel $B$, then $A$ must be contained in a Sturmian set (a very well-structured Bohr set) with the same upper Banach density as $A$. We apply these results to problems in additive combinatorics concerning asymptotic densities of product sets in $G$. More specifically, we show that if $A \subset G$ is a sufficiently aperiodic large set, then for \emph{any} (left) F{\o}lner sequence $(F_n)$ in $G$ and for every syndetic $B \subset G$, we have \[ \underline{d}_{(F_n)}(AB) \geq \min(1,d^*(A) + \underline{d}_{(F_n)}(B) \big), \] where $\underline{d}_{(F_n)}(A)$ denotes the lower asymptotic density of $A$ along $(F_n)$. This may be viewed as a generalization of the Kneser's celebrated density theorem on sets of small doubling in $(Z,+)$ to arbitrary countable amenable groups. [For a longer abstract, see the article].

研究动机与目标

• 将 $\mathbb{Z}$ 中小倍集的Kneser经典密度定理推广至任意可数可约群。
• 在 $G$-作用的遍历作用下，建立作用集 $AB$ 的测度关于 $A$ 的上Banach密度与 $B$ 的测度的下界。
• 刻画在何种情况下该不等式取等，表明当等式成立时，$A$ 必须包含于一个与 $A$ 具有相同上Banach密度的Sturmian集中。
• 将结果应用于F{\

提出的方法

• 使用遍历理论分析可数可约群在概率空间上的测度保持作用。
• 为子集 $A \subset G$ 定义并应用上Banach密度 $d^*(A)$ 以量化其“大小”。
• 对任意测度为正的Borel集 $B \subset Y$，建立不等式 $u(AB) \geq \min(1, d^*(A) + u(B))$。
• 引入Sturmian集（结构良好的Bohr集）的概念，作为等式成立时的极值配置。
• 将结果应用于F{\

实验结果

研究问题

• RQ1 对于给定的 $A \subset G$ 和测度为正的Borel集 $B \subset Y$，作用集 $AB$ 的最小可能测度是多少？
• RQ2 在何种条件下，不等式 $u(AB) \geq \min(1, d^*(A) + u(B))$ 取等？
• RQ3 当 $G$ 在 $(Y, u)$ 上遍历作用时，$A \subset G$ 的哪些结构性质是等式成立的必要条件？
• RQ4 沿F{\

主要发现

• 对于任意可数可约群 $G$ 的遍历概率测度保持作用，以及任意满足 $u(B) > 0$ 的Borel集 $B \subset Y$，作用集的测度满足 $u(AB) \geq \min(1, d^*(A) + u(B))$，其中 $AB = \bigcup_{a \in A} aB$。
• 若 $G$ 的每个有限指数子群在 $(Y, u)$ 上均作用遍历，且对某个 $B$ 等式在该界中成立，则 $A$ 必须包含于一个上Banach密度等于 $A$ 的上Banach密度的Sturmian集中。
• 不等式 $u(AB) \geq \min(1, d^*(A) + u(B))$ 在 $G$ 的所有遍历作用下一致成立，从而将Kneser定理推广至可约群。
• 对于任意F{\