[论文解读] Ergodic measures of intermediate entropies for dynamical systems with the approximate product property

Peng Sun|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2019

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 40被引用 13

一句话总结

该论文证明，对于具有近似积性质的渐近熵扩张系统，所有中间熵和压强的遍历测度在特定不变测度子空间中是典型的。该结果通过证明不变测度空间的精细结构，将熵稠密性和类似指定性的性质推广至更广范围，从而证实了适用于一大类光滑系统的卡托克猜想。

ABSTRACT

For a dynamical system satisfying the approximate product property and asymptotically entropy expansiveness, we characterize a delicate structrue of the space of invariant measures: The ergodic measures of intermediate entropies and intermediate pressures are generic in certain subspaces. This proves a conjecture of Katok for a broad class of systems and extends a sequence of known results.

研究动机与目标

• 解决卡托克关于紧流形上 $C^2$ 微分同胚存在任意中间度量熵的遍历测度的猜想。
• 在弱于普遍性的类似指定性条件下，刻画不变测度空间的精细结构。
• 将已知的熵稠密性和压强典型性结果推广至满足近似积性质和渐近熵扩张性的系统。
• 证明中间熵性质适用于超出具有全指定性或弱指定性的光滑系统类的广泛系统。
• 澄清近似积性质与普遍性之间的关系，表明前者不蕴含后者。

提出的方法

• 引入并应用‘几乎熵近似’和‘熵近似’测度的概念，以分析不变测度的结构。
• 利用近似积性质构造具有受控熵的不变紧集，从而实现对目标测度的逼近。
• 应用渐近熵扩张性概念，以确保不变测度空间上熵函数的连续性和稳定性。
• 利用 Pfister 和 Sullivan 关于渐近可加势能和压强的结果，分析子空间中的压强典型性。
• 运用拓扑动力系统工具，如粘贴轨道性质和不变集构造，以验证所需的逼近条件。
• 利用 Poulsen 单纯形和剩余集理论，证明中间熵的遍历测度在适当子集中是典型的。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个具有近似积性质和渐近熵扩张性的系统是否都存在熵属于 $[0, h(f))$ 的遍历测度？
• RQ2 不变测度空间能否被分解为若干子空间，使得中间熵的遍历测度在这些子空间中是剩余的？
• RQ3 中间熵性质是否严格弱于普遍性？它是否在近似积性质下成立？
• RQ4 能否在具有近似积性质的系统中建立中间压强的典型性？
• RQ5 近似积性质与存在任意中间熵不变测度之间存在何种关系？

主要发现

• 对于任意具有近似积性质和渐近熵扩张性的系统，熵属于 $[0, h(f))$ 的遍历测度集合在熵小于 $h(f)$ 的不变测度子空间中是典型的。
• 本文证明了中间熵的遍历测度在某些子空间中是典型的，从而确立了不变测度空间的精细结构。
• 该结果证实了卡托克猜想适用于一大类系统，包括具有近似积性质和渐近熵扩张性的 $C^2$ 微分同胚。
• 将无理旋转与全移位取积构造的系统 $(X,f)$ 满足定理条件，尽管它并非普遍系统。
• 本文提供了反例，表明近似积性质不蕴含普遍性，从而将中间熵性质与普遍性区分开来。
• 在某些系统中，压强典型性在下确界压强水平处失效，表明该典型性结果无法在无额外假设下推广至全部压强范围。