[论文解读] Ergodic optimization theory for a class of typical maps

Wen Huang, Zeng Lian+3 more|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2019

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 17被引用 13

一句话总结

本论文证明，对于一大类动力系统——包括Axiom A吸引子、Anosov微分同胚和一致扩张映射——在系统同时满足Anosov阴影性质（ASP）和Mañé-Conze-Guivarc’h-Bousch性质（MCGBP）的前提下，对于任意通用的Hölder连续可观测量，其最小化测度唯一地支持在周期轨道上。该结果解决了Yuan与Hunt长期悬而未决的问题，即关于遍历优化理论中$ C^1 $可观测量的典型周期优化（TPO）猜想。

ABSTRACT

In this article, we consider the weighted ergodic optimization problem of a class of dynamical systems $T:X o X$ where $X$ is a compact metric space and $T$ is Lipschitz continuous. We show that once $T:X o X$ satisfies both the {\em Anosov shadowing property }({\bf ASP}) and the {\em Mañé-Conze-Guivarc'h-Bousch property }({\bf MCGBP}), the minimizing measures of generic Hölder observables are unique and supported on a periodic orbit. Moreover, if $T:X o X$ is a subsystem of a dynamical system $f:M o M$ (i.e. $X\subset M$ and $f|_X=T$) where $M$ is a compact smooth manifold, the above conclusion holds for $C^1$ observables. Note that a broad class of classical dynamical systems satisfies both ASP and MCGBP, which includes {\em Axiom A attractors, Anosov diffeomorphisms }and {\em uniformly expanding maps}. Therefore, the open problem proposed by Yuan and Hunt in \cite{YH} for $C^1$-observables is solved consequentially.

研究动机与目标

• 解决遍历优化理论中关于$ C^1 $可观测量的典型周期优化（TPO）猜想。
• 确立通用可观测量的最小化测度唯一支持在周期轨道上的条件。
• 证明满足ASP与MCGBP的系统可确保通用Hölder连续与$ C^1 $可观测量的最小化测度唯一地支持在周期轨道上。
• 将此前关于一致扩张映射与有限型子移位系统的结果推广至更广泛的双曲系统类别。
• 为具有强双曲性与正则性特征的系统建立遍历优化的一般框架。

提出的方法

• 作者分析了紧致度量空间$ X $上Lipschitz连续映射$ T: X \to X $的加权遍历优化问题。
• 他们引入并应用Anosov阴影性质（ASP）以控制周期轨道对轨道的逼近。
• 他们利用Mañé-Conze-Guivarc’h-Bousch性质（MCGBP）确保可微项的存在，从而实现可观测量的扰动。
• 证明依赖于构造一个函数$ G $，使得其对所有遍历测度的Birkhoff平均非负，该构造基于轨道和的估计与Hölder范数。
• 关键估计涉及利用Lipschitz常数与双曲性常数，对邻近点轨道和的差异进行有界控制。
• 论证通过反证法进行：假设存在非周期的最小化测度，则会导致$ G $的平均为正，与最小性矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种系统条件下，通用Hölder可观测量的最小化测度唯一地支持在周期轨道上？
• RQ2 TPO猜想是否对双曲系统上$ C^1 $光滑可观测量成立？
• RQ3 MCGBP与ASP性质能否用于确保最小化测度的唯一性与周期性？
• RQ4 Axiom A吸引子与Anosov微分同胚等经典双曲系统在多大程度上满足周期最小化测度的条件？
• RQ5 可观测量的扰动如何影响遍历优化中最小化测度的结构？

主要发现

• 对于任意满足ASP与MCGBP的系统$ T: X \to X $，通用$ \alpha $-Hölder可观测量的最小化测度唯一地支持在某个周期轨道上。
• 若$ T $是紧致光滑流形$ M $上$ C^1 $-微分同胚$ f: M \to M $的子系统，则对$ C^1 $-可观测量，结论同样成立。
• 该结果解决了Yuan与Hunt（2000年）提出的关于$ C^1 $-可观测量在遍历优化中的开放问题。
• 同时满足ASP与MCGBP的系统类别包括Axiom A吸引子、Anosov微分同胚与一致扩张映射。
• 证明表明，任何非周期的遍历测度对一个精心构造的函数$ G $的Birkhoff平均必须为正，从而与最小性矛盾。
• 关键技术步骤在于证明：在非周期轨道上，函数$ G $的有限时间区间内和可被严格控制为正值，从而破坏最小化性质。