[论文解读] Ergodic properties of a class of non-Markovian processes

Martin Hairer|ArXiv.org|Aug 24, 2007

Stochastic processes and financial applications参考文献 20被引用 11

一句话总结

本文为由非白噪声驱动的广泛非马尔可夫随机过程中平稳分布的唯一性建立了构造性准则。通过借鉴马尔可夫过程理论中的技术——特别是强费勒（strong Feller）和拓扑不可约性（topological irreducibility）条件——本文表明，在对噪声施加温和的谱假设条件下，与独立同分布高斯噪声相同的方法可应用于验证，从而将遍历性结果扩展至非马尔可夫设定，包括具有平稳高斯噪声的离散时间过程。

ABSTRACT

We study a fairly general class of time-homogeneous stochastic evolutions driven by noises that are not white in time. As a consequence, the resulting processes do not have the Markov property. In this setting, we obtain constructive criteria for the uniqueness of stationary solutions that are very close in spirit to the existing criteria for Markov processes. In the case of discrete time, where the driving noise consists of a stationary sequence of Gaussian random variables, we give optimal conditions on the spectral measure for our criteria to be applicable. In particular, we show that under a certain assumption on the spectral density, our assumptions can be checked in virtually the same way as one would check that the Markov process obtained by replacing the driving sequence by a sequence of independent identically distributed Gaussian random variables is strong Feller and topologically irreducible. The results of the present article are based on those obtained previously in the continuous time context of diffusions driven by fractional Brownian motion.

研究动机与目标

• 为非马尔可夫随机过程的平稳分布唯一性建立构造性准则。
• 将遍历性理论从马尔可夫过程扩展至由相关性（非白）噪声驱动的系统。
• 提供标准马尔可夫遍历性验证技术（如强费勒和拓扑不可约性）可应用于非马尔可夫设定的条件。
• 分析由平稳高斯序列驱动的离散时间过程，识别出保证遍历性的最优谱条件。

提出的方法

• 本文研究由非白噪声驱动的时齐随机演化过程，这些过程缺乏马尔可夫性质。
• 提出与经典马尔可夫过程所用准则相类似的平稳解唯一性准则。
• 对于具有平稳高斯噪声的离散时间过程，推导出确保遍历性准则可应用的谱测度条件。
• 证明在特定谱密度假设下，遍历性条件的验证可简化为检查与独立同分布高斯噪声情形类似的性质。
• 该方法依赖于噪声的谱分析，并结合了来自马尔可夫过程理论的耦合技术。
• 该框架将早期关于分数布朗运动驱动扩散过程的结果推广至更广泛的非马尔可夫过程类别。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为由相关噪声驱动的非马尔可夫过程建立平稳分布唯一性的构造性准则？
• RQ2 在何种噪声谱条件下可保证非马尔可夫过程的遍历性？
• RQ3 标准马尔可夫遍历性验证技术（如强费勒和拓扑不可约性）在多大程度上可被适配至非马尔可夫设定？
• RQ4 驱动噪声的谱密度如何影响离散时间非马尔可夫过程中遍历性准则的适用性？
• RQ5 该理论能否扩展至包含具有记忆的平稳高斯序列驱动的过程？

主要发现

• 本文证明，在对谱密度施加温和假设的条件下，非马尔可夫过程的遍历性准则可如同马尔可夫过程与独立同分布高斯噪声时一样进行验证。
• 对于由平稳高斯序列驱动的离散时间过程，推导出最优谱条件，确保平稳分布的唯一性。
• 结果将先前关于分数布朗运动驱动扩散过程的遍历性发现推广至更广泛的非马尔可夫过程类别。
• 该框架即使在马尔可夫性质不成立时，仍允许应用强费勒和拓扑不可约性论证。
• 谱测度条件确保噪声相关结构不会阻碍唯一不变测度的存在。
• 该方法为在非马尔可夫系统中系统性地验证遍历性提供了一种途径，且无需依赖马尔可夫性质。