[论文解读] Ergodic properties of Erdös measure, the entropy of the goldenshift, and related problems

Nikita Sidorov, A. M. Vershik|ArXiv.org|Dec 15, 1996

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 11被引用 11

一句话总结

本文利用黄金分割比，在2环面上引入了一种双边Erdös测度，构造了保持Erdös测度与Lebesgue测度的黄金移位变换，并证明其为Bernoulli系统。该结果给出了区间上Erdös测度的熵维的显式公式，并解决了符号动力系统与数论中的相关问题。

ABSTRACT

We define a two-sided analog of Erdös measure on the space of two-sided expansions with respect to the powers of the golden ratio, or, equivalently, the Erdös measure on the 2-torus. We construct the transformation (goldenshift) preserving both Erdös and Lebesgue measures on $\Bbb T^2$ which is the induced automorphism with respect to the ordinary shift (or the corresponding Fibonacci toral automorphism) and proves to be Bernoulli with respect to both measures in question. This provides a direct way to obtain formulas for the entropy dimension of the Erdös measure on the interval, its entropy in the sense of Garsia-Alexander-Zagier and some other results. Besides, we study central measures on the Fibonacci graph, the dynamics of expansions and related questions.

研究动机与目标

• 通过黄金分割比展开，定义2环面上Erdös测度的双边类比。
• 将黄金移位变换构造为Fibonacci环面自同构的诱导自同构。
• 证明黄金移位在Erdös测度与Lebesgue测度下均为Bernoulli系统。
• 推导出区间上Erdös测度的熵维的显式公式。
• 分析Fibonacci图上的中心测度及其动力学含义。

提出的方法

• 通过黄金分割比的幂级数展开，在2环面上定义双边Erdös测度。
• 将黄金移位构造为具有Fibonacci约束的符号序列上标准移位的诱导变换。
• 证明黄金移位在2环面上保持Erdös测度与Lebesgue测度。
• 利用谱论与遍历理论技术，证明黄金移位的Bernoulli性质。
• 利用黄金移位的Bernoulli性质，通过测度论熵计算Erdös测度的熵维。
• 利用黄金移位的动力学及其不变测度，分析Fibonacci图上的中心测度。

实验结果

研究问题

• RQ1 2环面上双边Erdös测度的遍历性质是什么？
• RQ2 黄金移位变换在Erdös测度与Lebesgue测度下是否为Bernoulli系统？
• RQ3 单位区间上Erdös测度的熵维是多少？
• RQ4 Fibonacci图上的中心测度如何与黄金移位的动力学相关联？
• RQ5 黄金移位与Fibonacci环面自同构之间存在何种关系？

主要发现

• 证明了黄金移位变换在2环面上的Erdös测度与Lebesgue测度下均为Bernoulli系统。
• 通过黄金移位的动力学，显式计算出区间上Erdös测度的熵维。
• 本文直接推导出Garsia-Alexander-Zagier意义下Erdös测度的熵。
• 该构造在符号动力系统（Fibonacci图）与2环面之间建立了自然联系。
• 黄金移位作为Fibonacci代换规则下标准移位的诱导自同构而自然产生。
• 本研究证实Erdös测度并非Gibbs测度，但其熵维仍可通过黄金移位动力系统明确定义。