[论文解读] Ergodic solenoids and generalized currents

Vicente Muñoz, Ricardo Pérez-Marco|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2009

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 5被引用 5

一句话总结

本文引入了遍历层状丛——具有横截测度的抽象层状空间——并通过将定向、带测度的层状丛浸入光滑流形，定义了广义电流。证明了这些广义电流可实现 $H_k(M,\mathbb{R})$ 中任意实同调类，克服了经典 Ruelle-Sullivan 电流所受的自交点障碍限制。

ABSTRACT

We introduce the concept of solenoid as an abstract laminated space. We do a thorough study of solenoids, leading to the notion of ergodic and uniquely ergodic solenoids. We define generalized currents associated with immersions of oriented solenoids with a transversal measure into smooth manifolds, generalizing Ruelle-Sullivan currents.

研究动机与目标

• 通过浸入的层状结构，为光滑流形中的实同调类提供几何实现。
• 克服 Ruelle-Sullivan 电流的局限性，后者无法表示具有非零自交点的同调类。
• 将层状丛定义为具有横截测度的抽象层状空间，特别关注遍历与唯一遍历结构。
• 通过允许抽象层状丛的浸入，而非仅嵌入的层状结构，推广 Ruelle-Sullivan 电流。
• 证明 $H_k(M,\mathbb{R})$ 中每个实同调类均可由一个浸入的、定向的、带测度的层状丛生成的广义电流实现。

提出的方法

• 将 $k$-层状丛定义为具有 $k$-维叶、有限维横截结构的 Hausdorff、紧致、叶状空间。
• 引入在单行变换下不变的横截测度，使可对从周围流形拉回的 $k$-形式进行积分。
• 通过拉回与横截测度积分，构造广义电流，对浸入层状丛上的 $k$-形式进行积分。
• 利用单位分解与局部流盒分解，将局部积分扩展为全局电流，确保其在上同调下的不变性。
• 通过构造对偶形式分析广义电流的自交点，证明当横截测度为非原子时，其自交点为零。
• 建立横截测度的典范分解为 daval（体积分解）部分与奇异部分，类比于 Lebesgue 分解。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过与浸入层状结构相关的电流，几何实现 $H_k(M,\mathbb{R})$ 中的每个实同调类？
• RQ2 Ruelle-Sullivan 电流表示实同调类的障碍是什么？能否通过推广层状结构的类来消除该障碍？
• RQ3 在何种条件下，层状丛支持唯一的遍历横截测度？这如何影响其关联的电流？
• RQ4 横截测度中存在原子点与层状丛中存在紧致叶之间的关系是什么？
• RQ5 广义电流的自交点行为如何？与经典 Ruelle-Sullivan 电流有何不同？

主要发现

• 与浸入的、定向的、带测度的层状丛相关的广义电流在 $H_k(M,\mathbb{R})$ 中定义了在上同调下不变的闭电流。
• 当横截测度 $\mu$ 为非原子时，广义电流 $[f,S_\mu]^* \cup [f,S_\mu]^*$ 的自交点在 $H^{2(n-k)}(M,\mathbb{R})$ 中为零。
• 若层状丛无紧致叶，则所有横截测度均为非原子，因此其关联的广义电流自交点为零。
• 横截测度中存在原子点等价于层状丛中存在紧致叶。
• 对于任意实同调类 $a \in H_k(M,\mathbb{R})$，存在一个横截浸入的层状丛，通过广义电流实现 $a$，如后续工作 [6] 所示。
• 实现固定同调类 $a$ 的广义电流集合在表示 $a$ 的闭电流空间中稠密，此结论由 [7] 建立。