[论文解读] Ergodic Theorems for Lower Probabilities

Simone Cerreia‐Vioglio, Fabio Maccheroni+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 6, 2015

Probability and Statistical Research参考文献 15被引用 4

一句话总结

本文通过引入四种不变性概念，建立了下概率的遍历定理，即非加性标准概率测度的推广。证明了在下概率下，有界可测函数的时间平均几乎必然收敛。主要贡献是提出了非加性版本的强大数定律，其收敛界通过遍历性条件下的Choquet积分推导得出。

ABSTRACT

We establish an Ergodic Theorem for lower probabilities, a generalization of standard probabilities widely used in applications. As a by-product, we provide a version for lower probabilities of the Strong Law of Large Numbers.

研究动机与目标

• 将遍历理论推广至下概率，即在标准加性概率无法有效建模不确定性时使用的非加性集函数。
• 定义并分析下概率的多种不变性概念，表明在加性情况下这些概念等价，但在非加性设定中具有不同作用。
• 建立一个非加性遍历定理，即时间平均在下概率为一的集合上几乎必然收敛。
• 在下概率测度下，为平稳且遍历过程建立非加性版本的强大数定律。
• 在遍历性和更强不变性条件下，利用下和上Choquet积分刻画时间平均的极限。

提出的方法

• 提出下概率的四种不变性定义，其中定义1最弱，但足以支持主要遍历结果。
• 利用Choquet积分界定时间平均的极限，借助下概率的共轭上概率和核心。
• 在非加性设定下应用Kingman的超可加-次可加遍历定理，以在更强不变性条件下推导收敛性。
• 在下概率核心的弱*拓扑中运用连续性与紧致性论证，以确保积分的收敛性。
• 通过凸容量的性质和在S处的连续性，证明收敛集合的下概率为一，从而确立时间平均的收敛性。
• 利用可测选择与一致有界性，在下概率核心的背景下，通过收敛定理证明极限与积分的交换性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为下概率建立遍历定理，即非加性且连续的集函数？
• RQ2 下概率的不同不变性概念之间有何关系？哪些条件足以保证时间平均的收敛？
• RQ3 在下概率测度下，强大数定律的非加性类比是什么？
• RQ4 当下的概率是遍历时，如何利用Choquet积分界定时间平均的极限？
• RQ5 在何种条件下，有界可测函数的时间平均极限在下概率下几乎必然存在？

主要发现

• 在遍历性条件下，有界可测函数的时间平均几乎必然收敛至一个极限，其值介于函数的下和上Choquet积分之间。
• 对于平移不变且遍历的下概率，时间平均的极限几乎必然被函数极限关于下和上概率的Choquet积分所界定。
• 当基础空间为标准Borel空间且下概率在S处连续时，时间平均的极限可通过下概率的核心精确刻画。
• 本文证明了非加性版本的强大数定律：对于平稳且遍历过程，经验均值收敛至一个由第一个随机变量的下和上Choquet积分界定的区间。
• 在更强的不变性条件下，时间平均的收敛性以完全的下概率一保证，且极限关于不变σ代数可测。
• 极限函数被证明可测，且极限的积分等于积分的极限，该结论通过下概率核心中的一致有界性与收敛定理得到支持。