[论文解读] Ergodic theory of Random Anosov systems mixing on fibers

Wen Huang, Zeng Lian+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 26, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 28被引用 7

一句话总结

该论文证明了在由随机外部力驱动的纤维Anosov系统中，随机周期点与随机马蹄的存在性，建立了其稠密性，并将其与随机不变测度及弱随机Livšic定理相联系。该研究将光滑遍历理论推广至具有纤维双曲性与纤维上拓扑混合性的随机动力系统。

ABSTRACT

In this paper, we study the complicated dynamics of Anosov systems driven by an external force in the context of geometric theory (an abundance of random periodic points and random horseshoes) and smooth ergodic theory (random periodic measures and random Liv\v sic Theorem).

研究动机与目标

• 研究具有纤维Anosov结构的随机动力系统中随机周期点的存在性与稠密性。
• 通过可测截面的分离函数，建立具有纤维上拓扑混合性的系统中随机马蹄的存在性。
• 证明此类系统中周期性随机不变测度在所有不变测度空间中的稠密性。
• 为具有纤维双曲性的基动力系统上的协边方程，发展弱形式的随机Livšic定理。
• 将随机双曲性的几何结构与熵、SRB测度等遍历不变量相联系。

提出的方法

• 将随机动力系统定义为在基变换 $ \theta: \Omega \to \Omega $ 上的协边 $ F(n,\omega,x) $，其中纤维映射 $ f_\omega $ 作用于紧致黎曼流形 $ M $ 上。
• 通过连续且关于 $ Df_\omega $ 不变的分裂 $ T_xM_\omega = E^u \oplus E^s $ 定义纤维上的Anosov性质，满足一致指数扩张与收缩。
• 引入纤维上的拓扑混合条件：对任意开集 $ U,V \subset M $，存在 $ N $，使得对所有 $ n \geq N $，有 $ \phi^n(U \times \{\omega\}) \cap V \times \{\theta^n\omega\} \neq \emptyset $。
• 将随机周期点定义为可测截面 $ g_i \in L^\infty(\Omega,M) $，满足 $ \tilde{\phi}(g_i) = g_{i+1 \mod n} $，其中 $ \tilde{\phi} $ 为截面上诱导的映射。
• 通过分离函数 $ \underline{d}_{L^\infty} $ 与 $ \overline{d}_{L^\infty} $ 构造随机马蹄，识别出与随机有限型子移位 $ \Sigma_A $ 同胚的子系统。
• 应用可测选择定理（定理 B.1）以确保可测不变截面的存在性，并构造与符号动力系统的共轭。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有纤维上拓扑混合性的纤维Anosov系统中，随机周期点是否存在？它们在可测截面空间中是否稠密？
• RQ2 此类系统中能否构造出随机马蹄？其拓扑与测度论结构如何？
• RQ3 周期性随机不变测度在所有不变测度空间中是否稠密？
• RQ4 在纤维Anosov系统背景下，协边方程的弱随机Livšic定理是否成立？
• RQ5 纤维双曲性与混合性之几何性质如何与熵、SRB测度等遍历不变量相关联？

主要发现

• 在 $ L^\infty $-范数下，随机周期点在空间 $ L^\infty(\Omega,M) $ 中稠密，表明随机系统中具有丰富的周期结构。
• 随机马蹄存在，且与随机有限型子移位 $ \Sigma_A $ 同胚，其共轭通过可测选择与马尔可夫划分构造。
• 周期性随机不变测度在所有 $ F $-不变概率测度空间中稠密，确保了不变测度可由周期性测度逼近。
• 建立了弱形式的随机Livšic定理：若随机Hölder连续函数 $ \varphi $ 满足协边条件 $ \varphi = h \circ \tilde{\phi} - h $，则在Bowen性质与可规范性条件下必有 $ \varphi \equiv 0 $。
• 系统存在唯一的随机Sinai-Ruelle-Bowen（SRB）测度 $ \nu $，其支撑于随机吸引子 $ \Lambda $ 上，该测度由最大熵性与不稳定流形上条件测度的绝对连续性所刻画。
• SRB测度 $ \nu $ 可表示为弱极限 $ \nu_\omega = \lim_{n \to \infty} F(n, \theta^{-n}\omega) m_{\theta^{-n}\omega} $，其中初始测度为绝对连续测度，从而证实了统计稳定性。