[论文解读] Ergodicity for the $GI/G/1$-type Markov Chain

Yong-Hua Mao, Yongming Tai+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 26, 2012

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 23被引用 6

一句话总结

本文利用系统参数和矩阵分析，为 $GI/G/1$-型马尔可夫链建立了几何遍历性、强遍历性和多项式遍历性的必要且充分条件。它将遍历性与平稳分布的尾部渐近行为联系起来，表明平稳分布中的衰减速率与遍历性中的收敛速度等价，从而实现了排队论与随机过程领域中已有结果的交叉应用。

ABSTRACT

Ergodicity is a fundamental issue for a stochastic process. In this paper, we refine results on ergodicity for a general type of Markov chain to a specific type or the $GI/G/1$-type Markov chain, which has many interesting and important applications in various areas. It is of interest to obtain conditions in terms of system parameters or the given information about the process, under which the chain has various ergodic properties. Specifically, we provide necessary and sufficient conditions for geometric, strong and polynomial ergodicity, respectively.

研究动机与目标

• 推导 $GI/G/1$-型马尔可夫链中几何遍历性、强遍历性和多项式遍历性的必要且充分条件。
• 通过识别等价条件，建立遍历性与平稳分布尾部分析之间的联系。
• 将一般马尔可夫链的现有结果扩展至具有块状结构转移矩阵的特定 $GI/G/1$-型结构。
• 提供基于参数的遍历性准则，可直接应用于排队系统与随机模型。
• 使已知的尾部分析结果可用于推断遍历收敛速度，反之亦然。

提出的方法

• 利用块状结构转移矩阵的谱性质，特别是引理 2.3，分析几何遍历性。
• 应用生成函数技术及生成函数的 $l$-阶导数分析，刻画首次通过时间的矩。
• 采用因式分解结果和矩阵生成函数，将 $R_k$ 与 $R_{0,k}$ 的行为与遍历性条件关联起来。
• 使用 $\sum_{k=1}^\infty k^l R_{0,k} \mathbf{e}^t < \infty$ 和 $\sum_{k=1}^\infty k^l \sum_{n=0}^\infty R_k^{n*} \mathbf{e}^t < \infty$ 作为矩有限性的关键准则。
• 应用 Grassmann 和 Heyman [7] 的定理 1 以及 Zhao [24] 的定理 12，以界定 $R_{0,k} \geq B_k$ 和 $R_k \geq A_k$，从而实现基于参数的界估计。
• 利用极限 $\lim_{k\to\infty} \frac{k(k-1)\cdots(k-l+1)}{k^l} = 1$，将多项式增长与矩条件关联起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何基于系统参数，给出 $GI/G/1$-型马尔可夫链中几何遍历性的必要且充分条件？
• RQ2 首次通过时间的矩与平稳分布的尾部分析之间有何关系？
• RQ3 哪些条件可确保多项式遍历性？其与平稳分布衰减速率的关系如何？
• RQ4 能否在 $GI/G/1$-型链中形式化建立遍历速度与尾部分析之间的等价性？
• RQ5 如何利用生成函数与矩阵因式分解技术，推导遍历性所需的矩条件？

主要发现

• 定理 3.1 基于 $\sum_{k=0}^\infty k A_k \mathbf{e}^t < \infty$ 的收敛性，提供了几何遍历性的必要且充分条件。
• 定理 4.1 证明了几何遍历性与平稳分布尾部的几何衰减等价。
• 定理 5.2 表明，在 $\sum_{k=0}^\infty k A_k \mathbf{e}^t < \infty$ 条件下，对所有 $j$ 有 $\mathbb{E}_{(0,j)}[\tau_0^l] < \infty$ 当且仅当 $\sum_i i^l \pi_{ij} < \infty$。
• 定理 5.3 证明了多项式遍历性等价于 $\sum_i i^l \pi_{ij} < \infty$（$l \geq 2$），将首次通过时间的矩有限性与尾部分布衰减联系起来。
• 本文证明了同一条件 $\sum_{k=1}^\infty k^l B_k \mathbf{e}^t < \infty$ 和 $\sum_{k=1}^\infty k^l A_k \mathbf{e}^t < \infty$ 同时确保多项式遍历性和多项式尾部分布衰减。
• 遍历性与尾部分析之间的等价性使得方法可交叉使用：已知的尾部分析结果可用于推断遍历性，反之亦然。