[论文解读] Ergodicity of Mapping Class Group Actions on SU(2)-character varieties

William M. Goldman, Eugene Z. Xia|arXiv (Cornell University)|Jan 11, 2009

Geometric and Algebraic Topology参考文献 18被引用 7

一句话总结

本文提供了关于紧致有向曲面（带边界）的 SU(2)-特征簇上映射类群作用的遍历性的新辛几何证明。通过利用简单闭曲线的迹函数相关的哈密顿流，以及 S¹ 上无理旋转的遍历性，作者证明了任何在映射类群作用下不变的可测函数必几乎处处为常数，从而在不可约表示的光滑、辛、余稠密子集上确立了遍历性。

ABSTRACT

Let S be a compact orientable surface with genus g and n boundary components d_1,...,d_n. Let b = (b_1, ..., b_n) where b_n lies in [-2,2]. Then the mapping class group of S acts on the relative SU(2)-character variety X comprising conjugacy classes of representations f of the fundamental group F of S, where trace f(d_i) = b_i. This action preserves a symplectic structure on the open dense smooth submanifold of X. corresponding to irreducible representations. This subset has full measure and is connected. In this note we use the symplectic geometry of this space to give a new proof that this action is ergodic.

研究动机与目标

• 提供映射类群作用于 SU(2)-特征簇的遍历性的新且简洁的证明。
• 利用与简单闭曲线迹函数相关的辛结构与哈密顿流，建立遍历性。
• 证明：若函数在德恩扭转下不变，则通过生成流群的传递性，其在完整映射类群下亦不变。
• 证明：在不可约表示的光滑、辛、满测度子集上，该作用是遍历的。

提出的方法

• 利用不可约 SU(2)-表示模共轭的开稠密子流形上的辛结构。
• 应用与简单闭曲线 α 对应的迹函数 fα(ρ) = tr(ρ(α)) 相关的哈密顿向量场。
• 利用德恩扭转可通过迹函数定义的参数 s(ρ(α)) 对应于这些哈密顿向量场的单位时间流这一事实。
• 利用 S¹ 上无理旋转的遍历性，证明每个德恩扭转的作用在几乎处处是遍历的。
• 通过轨道叶状结构上的测度分解，证明在生成流群的几乎所有轨道上，不变函数必为常数。
• 应用由扭转变换流生成的群的传递性（推论 3.4），得出任何不变的可测函数必几乎处处为常数。

实验结果

研究问题

• RQ1 映射类群作用于 SU(2)-特征簇时是否保持辛结构？若保持，则在哪个子集上？
• RQ2 能否利用辛几何与哈密顿流证明映射类群作用的遍历性？
• RQ3 简单闭曲线的迹函数在生成群作用下不变代数中起何作用？
• RQ4 S¹ 上无理旋转的遍历性如何与德恩扭转在特征簇上作用的遍历性相关联？
• RQ5 由扭转变换流生成的群在特征簇的光滑辛流形上是否作用传递？

主要发现

• 映射类群在 SU(2)-特征簇的每个连通分支上关于辛测度作用是遍历的。
• 该作用在不可约表示的开稠密子集上保持辛结构，该子集具有满测度且连通。
• 沿简单闭曲线的德恩扭转对应于与迹函数 fα 相关的哈密顿向量场的单位时间流。
• 与一个裤分解相关的迹函数的哈密顿流群在光滑辛流形上作用传递。
• 由于流群的传递性与单个德恩扭转的遍历性，任何在完整映射类群下不变的可测函数必几乎处处为常数。
• 该证明通过将 S¹ 上无理旋转的遍历性应用于群元素的迹参数化，确立了遍历性。