[论文解读] Ergodicity of stochastic differential equations with jumps and singular coefficients

Longjie Xie, Xicheng Zhang|arXiv (Cornell University)|May 21, 2017

Stochastic processes and financial applications被引用 21

一句话总结

本文建立了带跳和奇异系数的随机微分方程（SDEs）在一般 Lévy 白噪声驱动下的强适定性、强 Feller 性质、不可约性以及指数遍历性。通过发展一种基于 Krylov 先验估计和 Zvonkin 变换的通用方法，作者证明了即使漂移项为奇异且耗散型时，解的存在唯一性及遍历性依然成立，且允许在 Sobolev 类中存在大跳跃和奇异扩散系数。

ABSTRACT

We show the strong well-posedness of SDEs driven by general multiplicative Lévy noises with Sobolev diffusion and jump coefficients and integrable drift. Moreover, we also study the strong Feller property, irreducibility as well as the exponential ergodicity of the corresponding semigroup when the coefficients are time-independent and singular dissipative. In particular, the large jump is allowed in the equation. To achieve our main results, we present a general approach for treating the SDEs with jumps and singular coefficients so that one just needs to focus on Krylov's {\it apriori} estimates for SDEs.

研究动机与目标

• 建立带乘性 Lévy 噪声、奇异扩散、跳跃以及可积漂移系数的 SDE 的强适定性。
• 研究相关马尔可夫半群的强 Feller 性质和不可约性。
• 证明具有奇异耗散漂移和一般 Lévy 噪声的时齐 SDE 的指数遍历性。
• 为处理带跳和奇异系数的 SDE 建立一个通用框架，将分析简化为 Krylov 的先验估计。
• 允许 Lévy 噪声中存在大跳跃，将结果推广至小跳跃或非退化扩散假设之外。

提出的方法

• 发展一种通用方法，将带跳和奇异系数的 SDE 分析简化为推导半鞅的 Krylov 型先验估计。
• 应用 Zvonkin 变换对 SDE 进行正则化，使得在奇异系数存在时仍可应用 Krylov 的估计。
• 将 Krylov 的先验估计扩展至一般不连续半鞅，包括具有跳跃分量和奇异漂移的半鞅。
• 该方法依赖于构造一个保持马尔可夫性质且允许应用热核估计的合适变换。
• 利用抛物型积分-微分方程及其正则性性质来控制转移密度。
• 遍历性证明依赖于通过比较估计和转移密度的 Hunt 型定理建立的 Dirichlet 热核的正性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，带跳和奇异系数的随机微分方程存在唯一的强解？
• RQ2 对于具有奇异耗散漂移和一般 Lévy 噪声的 SDE，能否建立强 Feller 性质和不可约性？
• RQ3 当噪声包含大跳跃时，具有奇异且耗散漂移的 SDE 是否可实现指数遍历性？
• RQ4 如何将 Krylov 的先验估计扩展至由一般 Lévy 过程驱动且具有奇异系数的 SDE？
• RQ5 何种条件可确保此类 SDE 的 Dirichlet 热核为正？

主要发现

• 在温和条件下，带乘性 Lévy 噪声、Sobolev 空间中的奇异扩散以及可积漂移的 SDE 存在唯一的强解。
• 当系数为时不变且奇异耗散时，相关马尔可夫半群具有强 Feller 性质和不可约性。
• 即使 Lévy 噪声中存在大跳跃，也已证明具有奇异耗散漂移的 SDE 具有指数遍历性。
• 不变测度存在，且其密度属于 $ L^q({\mathbb{R}}^d) $，其中 $ q < d/(d - \alpha + 1) $，$ \alpha $ 为奇异漂移的指数。
• 对于任意区域 $ D \subset \mathbb{R}^d $，Dirichlet 热核在 $ (0,\infty) \times D \times D $ 上严格为正，从而保证了不可约性。
• 主要结果通过将问题简化为 Krylov 的先验估计，并应用 Zvonkin 变换对 SDE 进行正则化而获得。