[论文解读] Erland Samuel Bring's "Transformation of Algebraic Equations"

Alexander Chen, Yang‐Hui He+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2017

History and Theory of Mathematics被引用 5

一句话总结

本文翻译并分析了埃兰德·萨穆埃尔·布林格1786年关于代数方程变换的论文，展示了他如何仅通过三次预解式使用切尔尼豪斯变换将一般五次方程约化为布林-杰拉德型 $x^5 + px + q = 0$，过程中仅涉及三次方程的求解。其主要贡献在于早期发现了布林曲线作为 $\mathbb{P}^4$ 中的完全交集，该曲线后来被识别为具有 $S_5$ 对称性的亏格4曲线，是通过椭圆函数与模形式求解五次方程的基础。

ABSTRACT

We translate Erland Samuel Bring's treatise Meletemata quaedam Mathematica circa Transformationem Aequationum Alebraicarum (Some selected mathematics on the Transformation of Algebraic Equations) written as his Promotionschrift at the University of Lund in 1786, from its Latin into English, with modern mathematical notation. Bring (1736 - 98) made important contributions to algebraic equations and obtained the canonical form x^5+px+q = 0 for quintics before Jerrard, Ruffini and Abel. In due course, he realized the significance of the projective curve which now bears his name: the complete intersection of the homogeneous Fermat polynomials of degrees 1,2,3 in CP^4.

研究动机与目标

• 将埃兰德·萨穆埃尔·布林1786年用拉丁文撰写的关于代数方程变换的原始论文翻译为现代英语，并使用当代数学记号进行注释。
• 突出布林在仅使用三次预解式的情况下，将一般五次方程约化为三项式形式 $x^5 + px + q = 0$ 的开创性工作，其时间早于杰拉德、鲁菲尼与阿贝尔。
• 确立在 $\mathbb{P}^4$ 中由 $\sum z_i = \sum z_i^2 = \sum z_i^3 = 0$ 定义的代数曲线（现称为布林曲线）作为布林-杰拉德五次方程模空间的重要性。
• 恢复并强调布林虽被忽视却极为深刻的洞见：即任何方程都可通过代数变换转化为可解形式，尽管受限于18世纪代数的发展水平。

提出的方法

• 通过引入一个四次辅助方程，应用切尔尼豪斯变换，以消除一般五次方程 $x^5 + ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0$ 中的中间项。
• 利用对称多项式与韦达定理，表达初等对称和 $\sum z_i = \sum z_i z_j = \sum z_i z_j z_k = 0$ 的消失，从而导出条件 $\sum z_i = \sum z_i^2 = \sum z_i^3 = 0$。
• 推导出方程组 (D, E, F)，通过求解辅助四次方程中的系数 $a, b, c, d$，以消除变换后五次方程中的第二、三、四项。
• 将 $a = \frac{3pd + 4q}{5}$ 代入系数方程，将系统约化为关于 $\gamma$ 和 $\zeta$ 的二次方程，该方程无需高阶根式即可求解。
• 引入代换 $b = \alpha d + \zeta$，$c = d + \gamma$，将系统进一步约化为可解的二次方程，从而实现对第三项的消除。
• 最后，通过求解一个三次方程的根 $d$，以消除第四项，完成向布林-杰拉德型的约化。

实验结果

研究问题

• RQ1 埃兰德·萨穆埃尔·布林如何仅通过三次预解式，利用切尔尼豪斯变换将一般五次方程约化为三项式形式 $x^5 + px + q = 0$？
• RQ2 在 $\mathbb{P}^4$ 中由 $\sum z_i = \sum z_i^2 = \sum z_i^3 = 0$ 定义的代数曲线具有何种代数与几何意义？为何它现在被称为布林曲线？
• RQ3 为何布林关于方程变换的工作长期被忽视？它如何预示了后来伽罗瓦理论与模形式的发展？
• RQ4 切尔尼豪斯变换如何在不求解高于三次的方程的前提下，实现对五次方程中多个中间项的消除？
• RQ5 对称群 $S_5$ 在布林曲线的结构中扮演何种角色？为何它是亏格4曲线所能拥有的最大可能自同构群？

主要发现

• 布林成功仅通过三次预解式将一般五次方程约化为布林-杰拉德型 $x^5 + px + q = 0$，其工作早于杰拉德与阿贝尔逾一个世纪。
• 在 $\mathbb{P}^4$ 中由 $\sum z_i = \sum z_i^2 = \sum z_i^3 = 0$ 定义的曲线是亏格4的完全交集，现称为布林曲线，其自同构群为 $S_5$。
• 在变换下，五次方程的根的对称和消失，从而导出条件 $\sum z_i = \sum z_i^2 = \sum z_i^3 = 0$，该条件定义了该曲线。
• 该方法依赖于求解一个二次方程与一个三次方程，以消除三个中间项，证明布林-杰拉德型可通过纯代数变换实现。
• 布林在§IV中表达的乐观信念——即任何方程都可能通过变换求解——具有远见，后来赫尔梅与克莱因的工作证实了五次方程与模形式之间存在深刻联系。
• 本文确立了布林的工作虽最初被归于学生，实则是代数方程理论与模空间几何学的奠基性贡献。