[论文解读] Error analysis for quadratic spline quasi-interpolants on non-uniform criss-cross triangulations of bounded rectangular domains

Catterina Dagnino, Paul Sablonnière|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2006

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 8被引用 4

一句话总结

本文针对矩形区域上非均匀十字交叉三角剖分的两个 $C^1$ 二次样条拟插值 $S_2$ 和 $W_2^*$ 进行误差分析。该方法使用支撑严格位于区域内部的B样条以及边界上的数据点，确保了与三角剖分无关的有界无穷范数。主要贡献在于对函数、一阶导数和二阶导数逼近的精确误差界，且在光滑性与网格比条件下实现了最优收敛速率。

ABSTRACT

Given a non-uniform criss-cross partition of a rectangular domain $Ω$, we analyse the error between a function $f$ defined on $Ω$ and two types of $C^1$-quadratic spline quasi-interpolants (QIs) obtained as linear combinations of B-splines with discrete functionals as coefficients. The main novelties are the facts that supports of B-splines are contained in $Ω$ and that data sites also lie inside or on the boundary of $Ω$. Moreover, the infinity norms of these QIs are small and do not depend on the triangulation: as the two QIs are exact on quadratic polynomials, they give the optimal approximation order for smooth functions. Our analysis is done for $f$ and its partial derivatives of the first and second orders and a particular effort has been made in order to give the best possible error bounds in terms of the smoothness of $f$ and of the mesh ratios of the triangulation.

研究动机与目标

• 分析有界矩形区域上非均匀十字交叉三角剖分的 $C^1$ 二次样条拟插值的逼近误差。
• 确保B样条支撑与数据点均限制在区域内部，避免超出区域边界的外推。
• 基于光滑性与局部网格比，推导函数及其一阶与二阶偏导数逼近的精确误差界。
• 证明拟插值的无穷范数一致有界，且与三角剖分无关。
• 在拟均匀网格条件下，建立光滑函数的最优逼近阶与收敛性。

提出的方法

• 拟插值 $S_2$ 和 $W_2^*$ 构造为 $C^1$ 二次B样条的线性组合，其离散系数泛函由函数值导出。
• B样条定义在由非均匀划分 $\Omega=[a,b]\times[c,d]$ 的每个子矩形内作两条对角线形成的十字交叉三角剖分上。
• 内层B样条使用伯恩斯坦-贝齐埃系数，边界B样条的支撑包含在 $\Omega$ 内，从而避免使用外部数据。
• 利用模量光滑性与B样条导数的界，结合先前关于二次B样条的研究成果，推导误差估计。
• 关键不等式涉及将误差分解为插值与拟插值两部分，对系数泛函与B样条导数施加界。
• 分析中考虑局部网格比 $h/\delta$，其中 $h$ 为最大步长，$\delta$ 为最小步长，以细化误差界。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $f \in C^2(\Omega)$，$S_2$ 与 $W_2^*$ 拟插值的逼近误差如何表示为函数值与导数的函数？
• RQ2 拟插值的无穷范数如何依赖于三角剖分？能否实现一致有界？
• RQ3 在拟均匀网格加密下，拟插值及其导数的收敛速率如何？
• RQ4 误差界如何依赖于 $f$ 的光滑性与局部网格比 $h/\delta$？
• RQ5 能否在三角形单元内部对一阶与二阶导数推导出精确误差界？

主要发现

• 对于 $f \in C^2(\Omega)$，函数逼近误差满足 $\|f - Q\|_{\infty} \leq \left[1 + \bar{C}_2 (h/\delta)\right] h \omega(D^2f, h/2)$，其中 $\bar{C}_2 \leq 122$ 对于 $S_2$，$\bar{C}_2 \leq 65$ 对于 $W_2^*$。
• 对于 $f \in C^3(\Omega)$，一阶导数误差满足 $\|D^\alpha f - D^\alpha Q\|_{\infty} \leq \bar{C}_3 (h/\delta) h^2 \|D^3f\|$，其中 $\bar{C}_3 \leq 269/12 \approx 22.4$ 对于 $S_2$，$\bar{C}_3 \leq 65/6 \approx 10.8$ 对于 $W_2^*$。
• 在三角形单元内部，二阶导数误差满足 $\|D^\alpha f - D^\alpha Q\|_{\text{int}(T)} \leq \left[1 + D_2 (h/\delta)^2\right] \omega(D^2f, h/2)$，其中 $D_2 \leq 183$ 对于 $S_2$，$D_2 \leq 195/2 = 97.5$ 对于 $W_2^*$。
• 对于 $f \in C^3(\Omega)$，二阶导数误差满足 $\|D^\alpha f - D^\alpha Q\|_{\text{int}(T)} \leq \left[1 + D_3 (h/\delta)^2\right] h \|D^3f\|$，其中 $D_3 \leq 269/8 \approx 33.6$ 对于 $S_2$，$D_3 \leq 65/4 = 16.25$ 对于 $W_2^*$。
• 在 $\gamma$-拟均匀划分下，拟插值在 $L^\infty(\Omega)$ 中收敛于 $f$ 及其一阶导数，且在每个三角形内部收敛于二阶导数，收敛率为 $O(h^{s-1} \omega(D^s f, h/2))$，$s=1,2$。
• 拟插值的无穷范数一致有界且与三角剖分无关，这是大规模问题中的关键实际优势。