[论文解读] Error Analysis of Finite Element Methods for Space-Fractional Parabolic Equations

Bangti Jin, Raytcho Lazarov+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2013

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 17被引用 7

一句话总结

本文针对一维空间分数阶抛物方程（Riemann-Liouville导数阶数 $α \in (1,2)$）的有限元方法进行了严格的误差分析。采用分段线性形函数的Galerkin有限元方法与向后欧拉/Crank-Nicolson时间格式，推导出在 $L^2(D)$ 和 $\widetilde{H}^{\alpha/2}(D)$ 范数下的最优收敛速率，且误差界明确依赖于初始数据的正则性，涵盖光滑与非光滑情形。

ABSTRACT

We consider an initial/boundary value problem for one-dimensional fractional-order parabolic equations with a space fractional derivative of Riemann-Liouville type and order $α\in (1,2)$. We study a spatial semidiscrete scheme with the standard Galerkin finite element method with piecewise linear finite elements, as well as fully discrete schemes based on the backward Euler method and Crank-Nicolson method. Error estimates in the $L^2\II$- and $H^{α/2}\II$-norm are derived for the semidiscrete scheme, and in the $L^2\II$-norm for the fully discrete schemes. These estimates are for both smooth and nonsmooth initial data, and are expressed directly in terms of the smoothness of the initial data. Extensive numerical results are presented to illustrate the theoretical results.

研究动机与目标

• 建立空间半隐式与全隐式有限元格式在 $\alpha \in (1,2)$ 条件下对空间分数阶抛物方程的先验误差估计。
• 分析在光滑与非光滑初始数据条件下Galerkin有限元方法的收敛行为。
• 直接以初始数据正则性为基准推导误差界，特别关注算子 $A^l v$ 在 $l=0,1$ 时的情形。
• 通过广泛的数值实验验证理论结果。

提出的方法

• 在均匀网格上使用标准Galerkin有限元方法与分段线性单元，构建空间半隐式格式。
• 通过向后欧拉与Crank-Nicolson时间积分方法构造全隐式格式。
• 采用解析半群理论分析解的正则性与误差传播。
• 变分形式基于分数阶Sobolev空间 $\widetilde{H}^{\alpha/2}(D)$ 及其相关双线性形式 $A(\cdot,\cdot)$。
• 通过能量法与对偶论证推导误差估计，利用离散投影的强制性与稳定性。
• 分析离散半群 $E_h(t)$，以刻画半隐式解的演化特性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有非光滑初始数据的空间分数阶抛物方程，半隐式有限元方法的收敛速率如何？
• RQ2 误差界如何依赖于初始数据 $v$ 在 $L^2(D)$ 与 $\widetilde{H}^{\alpha/2}(D)$ 范数下的正则性？
• RQ3 在使用向后欧拉与Crank-Nicolson时间格式的全隐式格式中，是否可在 $L^2(D)$-范数下实现最优收敛速率？
• RQ4 当 $v$ 不光滑时，算子 $A^l v$ 在量化误差中的作用是什么？
• RQ5 理论误差估计在实际中与数值结果的对比如何？

主要发现

• 半隐式有限元解满足误差界 $\|u_h(t)-u(t)\|_{L^2(D)} + h^{\alpha/2 - 1 + \beta}\|u_h(t)-u(t)\|_{\widetilde{H}^{\alpha/2}(D)} \leq C h^{\alpha - 2 + 2\beta} t^{l-1} \|A^l v\|_{L^2(D)}$，其中 $\beta \in [0,1/2)$ 且 $l=0,1$。
• 对于向后欧拉全隐式格式，$L^2(D)$-范数下的误差被界为 $C(h^{\alpha - 2 + 2\beta} + \tau) t^{l-1} \|A^l v\|_{L^2(D)}$。
• 对于Crank-Nicolson全隐式格式，$L^2(D)$-范数下的误差被界为 $C(h^{\alpha - 2 + 2\beta} + \tau^2 t_n^{-1}) t^{l-1} \|A^l v\|_{L^2(D)}$。
• 解表现出增强的正则性：当 $v \in L^2(D)$ 时，有 $u \in C((0,T]; \widetilde{H}_L^{\alpha - 1 + \beta}(D))$，其中 $\beta \in [0,1/2)$。
• 误差估计对光滑与非光滑初始数据均有效，且显式依赖于 $\|A^l v\|_{L^2(D)}$。
• 数值结果验证了理论收敛速率，包括在 $\alpha \in (1,2)$ 条件下 $h$ 的最优阶收敛。