[论文解读] Error boundedness of Correction Procedure via Reconstruction / Flux Reconstruction

Philipp Öffner|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2018

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 38被引用 5

一句话总结

本文研究了通量重构（FR）与通过重构的校正过程（CPR）方法在线性双曲守恒律中的长期误差行为。结果表明，节点基的选择（高斯-勒让德与高斯-洛巴托）对误差增长和渐近误差水平的影响，比数值通量（迎风或中心）更为显著，其中高斯-勒让德基可实现更低且收敛更快的误差，尤其在低阶分辨率下表现更优。

ABSTRACT

We study the long-time error behavior of correction procedure via reconstruction / flux reconstruction (CPR/FR) methods for linear hyperbolic conservation laws. We show that not only the choice of the numerical flux (upwind or central) affects the growth rate and asymptotic value of the error, but that the selection of bases (Gauß-Lobatto or Gauß-Legendre) is even more important. Using a Gauß-Legendre basis, the error reaches the asymptotic value faster and to a lower value than when using a Gauß-Lobatto basis. Also, the differences in the error caused by the numerical flux are not essential for low resolution computations in the Gauß-Legendre case. This behavior is better seen on a particular FR scheme which has a strong connection with the discontinuous Galerkin framework but holds also for other flux reconstruction schemes with low order resolution computations.

研究动机与目标

• 分析通量重构（FR）/通过重构的校正过程（CPR）格式在线性双曲守恒律中的长期误差行为。
• 研究数值通量选择（迎风与中心）和节点基选择（高斯-勒让德与高斯-洛巴托）对误差增长和渐近误差水平的影响。
• 将先前针对间断伽辽金谱元法（DGSEM）的稳定性与误差分析，拓展至更广泛的FR/CPR框架。
• 阐明节点基在决定误差动力学中的作用，尤其是在低阶分辨率计算中。
• 提供理论与数值证据，表明在FR格式中，高斯-勒让德节点相比高斯-洛巴托节点具有更优的误差行为。

提出的方法

• 使用求和按部分（SBP）算子构造线性双曲守恒律的能量稳定FR格式。
• 采用半离散化方法，在每个单元上使用多项式逼近，并映射到参考区间[-1, 1]。
• 使用高斯-勒让德与高斯-洛巴托点作为基函数，进行节点拉格朗日插值，构建逼近空间。
• 通过分析截断误差引入的强迫项，推导误差方程，并研究其时间演化。
• 采用一维FR格式族（Vincent, 2011）以推广结果，当参数κ = 0时，该族包含DGSEM作为特例。
• 利用离散SBP范数进行稳定性分析，并通过勒让德多项式作为校正函数，将FR方法与DG框架联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 数值通量选择（迎风与中心）如何影响FR/CPR格式中的长期误差增长？
• RQ2 节点基选择（高斯-勒让德与高斯-洛巴托）对FR方法中渐近误差水平和收敛率有何影响？
• RQ3 在FR格式中，内部离散化（超出边界条件）是否会影响误差有界性，如在DGSEM中所观察到的那样？
• RQ4 为何使用高斯-勒让德节点时，误差能更快达到其渐近值且水平更低，而高斯-洛巴托节点则不能？
• RQ5 由于高斯-勒让德节点缺少边界值而引入的附加误差项，对整体误差动力学的影响程度如何？

主要发现

• 在FR格式中，高斯-勒让德节点基导致的渐近误差水平显著低于高斯-洛巴托节点基。
• 采用高斯-勒让德节点时，误差更快趋于渐近值，且超调更小，优于高斯-洛巴托节点。
• 当使用高斯-勒让德节点时，数值通量选择（迎风或中心）对误差行为的影响，小于使用高斯-洛巴托节点时的影响。
• 由于高斯-勒让德节点在单元中缺少边界值而引入的附加误差项，可在误差方程框架内进行解释与分析。
• 采用高斯-勒让德节点与迎风通量的FR格式，其误差行为与DGSEM相当，证实其在低阶区域的鲁棒性。
• 理论分析得到数值验证，包括与先前工作（DGSEM研究）中测试案例的对比，显示各方法间趋势一致。