[论文解读] Error Correcting Codes for Distributed Control

Ravi Teja Sukhavasi, Babak Hassibi|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2011

Cellular Automata and Applications参考文献 35被引用 8

一句话总结

本文提出线性树码以实现实时纠错，用于分布式控制系统，可在噪声信道中实现不稳定系统的稳定，且解码错误概率呈指数衰减。证明了线性树码以高概率存在，并为具有恒定平均解码复杂度的删除信道提供了显式构造，实现了控制稳定性所必需的任意时间可靠性。

ABSTRACT

The problem of stabilizing an unstable plant over a noisy communication link is an increasingly important one that arises in applications of networked control systems. Although the work of Schulman and Sahai over the past two decades, and their development of the notions of "tree codes"\phantom{} and "anytime capacity", provides the theoretical framework for studying such problems, there has been scant practical progress in this area because explicit constructions of tree codes with efficient encoding and decoding did not exist. To stabilize an unstable plant driven by bounded noise over a noisy channel one needs real-time encoding and real-time decoding and a reliability which increases exponentially with decoding delay, which is what tree codes guarantee. We prove that linear tree codes occur with high probability and, for erasure channels, give an explicit construction with an expected decoding complexity that is constant per time instant. We give novel sufficient conditions on the rate and reliability required of the tree codes to stabilize vector plants and argue that they are asymptotically tight. This work takes an important step towards controlling plants over noisy channels, and we demonstrate the efficacy of the method through several examples.

研究动机与目标

• 为解决在噪声通信信道上稳定不稳定系统时缺乏具备任意时间可靠性的实用纠错码的问题。
• 开发实时编码与解码方案，保证错误概率随解码延迟呈指数下降，以满足控制系统的需求。
• 为网络化控制系统提供显式、高效的树码构造——特别是线性构造。
• 建立稳定向量系统所需的码率和可靠性充分条件，并证明其渐近紧致性。
• 通过仿真表明，线性树码可在有界噪声和删除信道下稳定不稳定系统。

提出的方法

• 采用具有因果编码与解码的线性树码，其中每个码字依赖于所有先前的源符号，形成树状结构。
• 使用随机托普利茨矩阵构造码生成矩阵，以确保以高概率满足任意时间可靠性条件。
• 在控制器中采用超立方体滤波器，从噪声和量化测量中进行状态估计。
• 在二进制删除信道上，通过算法1实现每时间点恒定的平均解码复杂度。
• 利用系统矩阵在标准型下的谱半径，推导码率 $ R $ 和误差指数 $ \beta $ 的充分条件。
• 通过100次运行的蒙特卡洛仿真验证性能，对100个时间范围内的LQR代价取平均。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否显式构造出适用于网络化控制系统的高效编码与解码的线性树码？
• RQ2 在噪声信道上稳定向量系统时，码率和误差指数的充分条件是什么？
• RQ3 在存在信道删除的情况下，反馈如何影响可稳定区域？
• RQ4 在最小化LQR代价方面，码率、分辨率与误差指数之间存在何种权衡？
• RQ5 线性树码能否在删除信道中实现任意时间可靠性，并保持恒定的平均解码复杂度？

主要发现

• 线性树码以高概率存在，为先前非线性构造提供了实用替代方案。
• 在二进制删除信道上，所提出的构造实现了每时间点恒定的平均解码复杂度。
• 在 $ (|\mu_1|, |\mu_2|) $ 平面中，有反馈时的可稳定区域显著大于无反馈时。
• 在小车间-杆平衡器实例中，系统在 $ k=5 $, $ n=15 $ 条件下实现稳定，达到 $ n\beta = 4.27 $，超过所需的 $ 4.1035 $。
• 对于三维不稳定系统，最优码率为 $ R = 5/15 \approx 0.33 $，可使LQR代价最小化，且 $ 85\% $ 的码实现代价 < 15。
• 当 $ k=5 $ 时，$ 95\% $ 的码实现LQR代价低于15，优于较低和较高码率，因分辨率与误差指数达到最佳平衡。