[论文解读] Error estimate and unfolding for periodic homogenization

Georges Griso|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2011

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 3被引用 79

一句话总结

该论文利用周期展开方法，在无需对校正项施加正则性假设的前提下，建立了周期均匀化中的最优误差估计。它通过单元边界上迹差的全新表征方式，刻画了调和函数的周期缺陷，使得在对均匀化解和区域边界仅作最小正则性要求下，可获得 ε^γ 阶（γ > 0）的误差界，且显式依赖于 n 和区域的几何结构。

ABSTRACT

This paper deals with the error estimate in problems of periodic homogenization. The methods used are those of the periodic unfolding. We give the upper bound of the distance between the unfolded gradient of a function belonging to $H1(Ω)$ and the space $ abla_x H^1(Ω)\oplus abla_y L^2(Ω; H^1_{per}(Y))$. These distances are obtained thanks to a technical result presented in Theorem 2.3: the periodic defect of a harmonic function belonging to $H1(Y)$ is written with the help of the norms $H^{1/2}$ of its traces diff erences on the opposite faces of the cell $Y$. The error estimate is obtained without any supplementary hypothesis of regularity on correctors.

研究动机与目标

• 在不假设校正项属于 W^{1,∞} 的前提下，推导周期均匀化中的误差估计。
• 通过单位胞腔对边上的迹差，表征 H^1(Y; X) 中调和函数的周期缺陷。
• 在对均匀化解和区域边界仅作最小正则性要求下，建立均匀化解及其梯度的 ε^γ 阶误差界。
• 通过基于迹的缺陷分解，将周期展开方法扩展至低正则性情形。
• 提供与 ε 无关的定量误差估计，适用于利普希茨域和 C^{1,1} 域。

提出的方法

• 使用周期展开方法，将 H^1(Ω) 中函数的梯度分解为宏观与微观分量。
• 应用基于迹的提升构造（引理 2.2），估计 W^{1,p} 空间中函数与其周期逼近之间的距离。
• 通过对面对面迹差的 H^{1/2} 范数，基于迹表征 H^1(Y; X) 中调和函数的周期缺陷。
• 引入截断函数 ρε,α 以在边界附近局部化估计，从而控制边界层效应。
• 利用涉及 ρε,α 和梯度 H^1 范数的加权范数，在展开空间中导出稳定性估计。
• 应用庞加莱-维尔廷格不等式和迹估计，控制原解与近似解之间的误差。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不假设校正项属于 W^{1,∞} 的前提下，推导周期均匀化中的误差估计？
• RQ2 如何基于单位胞腔对边上的迹差，量化 H^1(Y; X) 中调和函数的周期缺陷？
• RQ3 在对均匀化解和区域边界仅作最小正则性假设下，均匀化解及其梯度的最优收敛速率为何？
• RQ4 能否通过基于迹的缺陷分解，将周期展开方法扩展至低正则性情形以获得误差估计？
• RQ5 误差估计对区域几何结构以及右端项 f ∈ L^2(Ω) 正则性有何依赖？

主要发现

• H^1(Y; X) 中调和函数的周期缺陷等价于其在单位胞腔 Y 对边上的迹差的 H^{1/2} 范数之和。
• 对于 C^{1,1} 边界，若均匀化解 Φ 属于 H^2(Ω)，则误差估计为 ε 阶。
• 对于利普希茨边界，误差估计为 ε^γ 阶，其中 γ ∈ (0, 1/3]，具体取决于算子 A、维数 n 和区域边界 ∂Ω。
• 当均匀化解 Φ 属于 W^{1,q}(Ω) 且 q > 2 时，误差界为 ε^{(q-2)/(3q-2)} 阶。
• 若系数矩阵 A 属于 W^{1,∞}(Ω; L^∞_per(Y))，则估计仍成立，从而将适用范围扩展至正则性较低的系数。
• 误差估计中的常数仅依赖于 n、A 和区域 ∂Ω，而不依赖于 ε。