[论文解读] Error Estimate of MacCormack Rapid Solver Method for 2D Incompressible Navier-Stokes Problems

Eric Ngondiep|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2019

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics被引用 4

一句话总结

本文分析了二维不可压缩N-S方程两层MacCormack快速求解器（MCRS）方法的误差估计与收敛速率，结合了显式MacCormack与Crank-Nicolson格式。理论与数值结果均证实该方法在时间和空间上均具有二阶精度，均匀网格加密下速度与压力误差的收敛速率约为2.0。

ABSTRACT

The error estimates and convergence rate of a two-level MacCormack rapid solver method for solving a two-dimensional incompressible Navier-Stokes equations are analyzed. This represents a continuation of the work on the stability analysis of the method. The theoretical result suggests that the rapid solver method is both convergent and second order accurate with respect to time step $\\Delta t.$ A wide set of numerical evidences confirm this theoretical analysis.

研究动机与目标

• 分析二维不可压缩N-S方程两层MacCormack快速求解器（MCRS）方法的误差估计与收敛速率。
• 通过提供全局误差估计与收敛速率验证，扩展先前的稳定性分析。
• 与一阶方法（如两层有限元Galerkin方法）相比，展示MCRS格式的效率与鲁棒性。
• 通过不同网格尺寸与时间步长的大量数值实验，验证理论发现。

提出的方法

• MCRS方法将显式预测-校正MacCormack格式与Crank-Nicolson时间格式相结合，用于求解二维不可压缩N-S方程。
• 采用两层格式，其中MacCormack方法显式处理非线性对流项，而Crank-Nicolson格式确保粘性项与压力项在时间上具有二阶精度。
• 空间上采用变分弱形式，基于三角剖分区域进行有限元离散化，并通过混合有限元方法强制满足不可压缩性条件。
• 通过L²(0,T;L²)与L²(0,T;H¹)范数定义速度、压力及其梯度的误差，以量化收敛性。
• 使用公式 $ r^{1}_{(\text{cdot})} = \log_2\left( \frac{E^{N}((\text{cdot}))}{E^{N-1}((\text{cdot}))} \right) $ 计算收敛速率，其中 $ \Delta t = h $，以评估精度阶数。
• 在两个具有精确解的基准问题上进行数值测试，采用均匀网格加密与时间步长减小。

实验结果

研究问题

• RQ1 两层MCRS方法在二维不可压缩N-S方程中是否在时间和空间上均具有二阶精度？
• RQ2 MCRS方法在速度、压力与速度梯度误差方面的全局收敛速率是多少？
• RQ3 与一阶方法（如两层有限元Galerkin方法）相比，MCRS方法在精度与效率方面表现如何？
• RQ4 数值实验在多大程度上验证了理论误差估计与收敛速率？
• RQ5 混合MacCormack–Crank-Nicolson方法在长时间区间内是否保持稳定与高精度？

主要发现

• 理论分析表明，MCRS方法在时间步长 $ \Delta t $ 上具有二阶精度，速度与压力误差的收敛速率趋近于2.0。
• 数值实验显示，当 $ \Delta t = 2^{-7} $ 时，速度 $ u $ 的收敛速率约为2.0000，$ r^{1}_u = 2.0000 $，表明具有二阶收敛性。
• 对于压力 $ p $，当 $ \Delta t \leq 2^{-7} $ 时，收敛速率稳定在约2.0000，证实了二阶精度。
• 梯度误差 $ E^N(\nabla u) $ 的收敛速率约为1.415，与H¹-范数误差的预期阶数一致。
• 该方法在精度与计算效率方面均优于一阶的两层有限元Galerkin方法。
• 通过精确解测试验证，MCRS格式在不同雷诺数与问题配置下均表现出鲁棒性与可靠性。