[论文解读] Error estimates and a two grid scheme for approximating transmission eigenvalues

Yidu Yang, Jiayu Han+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2015

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 18被引用 11

一句话总结

本文提出了一种用于计算亥姆霍兹散射问题中传输特征值的两网格有限元格式，通过线性化技术将非自伴二次特征值问题转化为自伴且强制的形式，从而可进行严格的误差分析。该方法实现了对实特征值和复特征值的高精度计算，并达到最优收敛速率，理论误差估计与多种区域上的数值实验验证了其有效性。

ABSTRACT

In this paper, using the linearization technique we write the Helmholtz transmission eigenvalue problem as an equivalent nonselfadjoint linear eigenvalue problem whose left-hand side term is a selfadjoint, continuous and coercive sesquilinear form. To solve the resulting nonselfadjoint eigenvalue problem, we give an $H^{2}$ conforming finite element discretization and establish a two grid discretization scheme. We present a complete error analysis for both discretization schemes, and theoretical analysis and numerical experiments show that the methods presented in this paper can efficiently compute real and complex transmission eigenvalues.

研究动机与目标

• 开发一种鲁棒且精确的有限元方法，用于计算亥姆霍兹散射问题中的传输特征值。
• 克服传输特征值问题中非自伴性与缺乏椭圆性带来的挑战。
• 在一般条件下，为实特征值与复特征值提供完整的误差分析。
• 设计一种两网格离散化格式，提升计算效率的同时保持精度。
• 通过在凸域与非凸域上的数值实验，验证该方法的有效性。

提出的方法

• 利用文献[33]中的技术，将二次特征值问题(5)线性化为等价的非自伴线性特征值问题(11)，确保左侧为自伴、连续且强制。
• 对线性化问题应用$H^2$-符合的有限元离散化，得到正定的厄米特块对角刚度矩阵。
• 基于Babuška-Osborn谱逼近理论，推导出有限元逼近的严格误差估计。
• 引入两个辅助问题，并应用Nitsche技巧处理低范数误差分析中涉及导数的非对称右侧项。
• 提出一种两网格离散化格式，先求解粗网格问题，再利用其解对细网格逼近进行校正，从而降低计算成本。
• 在三角形网格上使用Argyris与BFS有限元实现该方法，并对非凸域中的奇点采用自适应网格加密。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为$H^2$-符合有限元逼近的传输特征值（包括复特征值与重特征值）建立完整的误差分析？
• RQ2 如何克服传输特征值问题中非自伴性与非椭圆性，以实现可靠的数值计算？
• RQ3 所提出的两网格格式对实特征值与复特征值的收敛行为如何？
• RQ4 非凸域中特征函数的奇点如何影响有限元逼近的收敛速率？
• RQ5 所提出的方法能否高效且高精度地计算实特征值与复特征值？

主要发现

• 所提出的$H^2$-符合有限元方法在凸域上对特征值实现了约2的最优收敛阶，而在存在奇点的非凸L形域上，收敛率约为1.4。
• 两网格格式显著降低了计算成本，同时保持了高精度，且粗网格特征值$k_{j,H}$随着$h \to 0$收敛于细网格解$k_{j,h}$。
• 在单位正方形与L形域上的数值实验验证了理论收敛速率，相对误差随网格尺寸$h$的细化而减小。
• 对于具有分段常数$n(x)$的圆形域，Argyris元得到的特征值与文献[19]中的解析基准结果一致，验证了方法的精度。
• 该方法成功计算了具有虚部的复传输特征值，例如当$n=8+x_1-x_2$时，$\pm 0.566i$的特征值在多次网格加密下均保持高精度。
• 离散系统生成正定的厄米特块对角刚度矩阵，确保了良好的代数性质与稳定的迭代求解器性能。