[论文解读] Error estimates for semi-discrete finite element approximations for a moving boundary problem capturing the penetration of diffusants into rubber

Surendra Nepal, Yosief Wondmagegne+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2021

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics被引用 5

一句话总结

本文针对一维移动边界问题（模拟溶剂向橡胶中的扩散）的半离散有限元方法，提出了先验与后验误差估计。通过将问题转化为固定区域，并结合能量估计与积分估计，辅以插值-迹不等式，作者建立了浓度与移动边界位置的 𝒪(1) 阶收敛率，数值实验结果与实验数据一致，验证了理论结果。

ABSTRACT

We consider a moving boundary problem with kinetic condition that describes the diffusion of solvent into rubber and study semi-discrete finite element approximations of the corresponding weak solutions. We report on both a priori and a posteriori error estimates for the mass concentration of the diffusants, and respectively, for the a priori unknown position of the moving boundary. Our working techniques include integral and energy-based estimates for a nonlinear parabolic problem posed in a transformed fixed domain combined with a suitable use of the interpolation-trace inequality to handle the interface terms. Numerical illustrations of our FEM approximations are within the experimental range and show good agreement with our theoretical investigation. This work is a preliminary investigation necessary before extending the current moving boundary modeling to account explicitly for the mechanics of hyperelastic rods to capture a directional swelling of the underlying elastomer.

研究动机与目标

• 分析半离散有限元近似在模拟溶剂渗透入橡胶的移动边界问题中的精度。
• 推导扩散剂浓度与移动边界位置的先验与后验误差估计。
• 通过与实验数据一致的数值实验验证理论误差界。
• 为未来在超弹性弹性体中实现方向性溶胀的力学-耦合模型奠定基础。

提出的方法

• 通过坐标变换将移动边界问题转化为固定区域，以简化数值处理。
• 在变换后的区域中定义弱解，并基于文献[17, 18]的先验分析，建立解的存在性与一致有界性。
• 对固定区域中的非线性抛物系统应用能量与积分估计，推导误差界。
• 利用插值-迹不等式控制误差分析中由移动边界引起的界面项。
• 使用开源Python工具在1D中实现有限元方法，采用均匀时间离散化。
• 通过精细网格参考解与离散ℓ²范数计算收敛率，以验证理论估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 在橡胶中移动边界扩散模型的半离散有限元方法中，扩散剂浓度近似的收敛速率是多少？
• RQ2 移动边界的位置与速度的数值近似有多准确？可否严格推导出误差界？
• RQ3 数值结果在多大程度上与致密橡胶和泡沫橡胶中溶剂渗透的实验数据一致？
• RQ4 实际中先验与后验误差估计如何比较？它们揭示了FEM格式的可靠性如何？
• RQ5 由于未知移动边界引起的非线性耦合对最优收敛率有何影响？

主要发现

• 扩散剂浓度与移动边界位置的先验误差估计显示收敛率为 𝒪(1) 阶，其与最优性的偏差源于界面处的非线性耦合。
• 后验误差估计（59）提供了可计算的误差界，与理论预期一致，支持自适应加密策略。
• 数值实验表明，模拟的浓度分布与致密橡胶和泡沫橡胶两种情况下的实验数据高度吻合。
• 通过网格细化的离散误差的对数-对数图计算出的收敛阶与理论速率一致，证实了误差分析的有效性。
• 有限元格式在实验范围内实现了稳定且精确的结果，收敛率接近理论预测。
• 使用精细网格参考解可可靠计算误差范数与收敛阶，验证了数值实现的正确性。