[论文解读] Error Estimates for Sparse Optimal Control Problems by Piecewise Linear Finite Element Approximation

Xiaoliang Song, Bo Chen+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2017

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 22被引用 4

一句话总结

本文提出了一种针对椭圆PDE控制的稀疏最优控制问题中$L^1$-范数的新型有限元离散化方案，采用基于对偶的方法与加速块坐标下降（ABCD）算法，避免了次优的节点积分。关键贡献在于提出了一种新的$L^1$-范数逼近方法，保持了最优的误差收敛阶$O(h)$，并通过严格的有限元误差估计得到验证，确保离散化不降低原问题解的收敛速率。

ABSTRACT

Optimization problems with $L^1$-control cost functional subject to an elliptic partial differential equation (PDE) are considered. However, different from the finite dimensional $l^1$-regularization optimization, the resulting discretized $L^1$-norm does not have a decoupled form when the standard piecewise linear finite element is employed to discretize the continuous problem. A common approach to overcome this difficulty is employing a nodal quadrature formula to approximately discretize the $L^1$-norm. It is inevitable that this technique will incur an additional error. Different from the traditional approach, a duality-based approach and an accelerated block coordinate descent (ABCD) method is introduced to solve this type of problem via its dual. Based on the discretized dual problem, a new discretized scheme for the $L^1$-norm is presented. Compared new discretized scheme for $L^1$-norm with the nodal quadrature formula, the advantages of our new discretized scheme can be demonstrated in terms of the approximation order. More importantly, finite element error estimates results for the primal problem with the new discretized scheme for the $L^1$-norm are provided, which confirm that this approximation scheme will not change the order of error estimates.

研究动机与目标

• 解决在PDE约束最优控制中使用分片线性有限元时，$L^1$-范数离散化存在非解耦问题的挑战。
• 克服标准节点积分在$L^1$-范数离散化中引入的次优逼近误差。
• 开发一种新的$L^1$-范数离散化方案，保持有限元方法的最优收敛阶。
• 基于新离散化方案，建立原问题的严格有限元误差估计，确保不降低收敛速率。

提出的方法

• 采用基于对偶的方法重新表述稀疏最优控制问题，使加速块坐标下降（ABCD）方法能够高效求解对偶问题。
• 从对偶问题中推导出一种新的离散$L^1$-范数逼近，记为$\|u_h\|_{\widetilde{L}_h^1(\Omega_h)}$，避免使用节点积分公式。
• 通过构建更精确的$L^1$-范数逼近，利用对偶公式避免了节点积分方法固有的$O(h)$误差。
• 基于新$L^1$-范数离散化，推导出原问题的有限元误差估计，证明收敛阶仍保持为$O(h)$。
• 分析依赖于对偶论证、插值误差估计，以及连续与离散解算子之间差值的界。
• 关键估计通过H\

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一种有限元离散化方案，使$L^1$-范数的离散化避免节点积分带来的$O(h)$误差，同时在控制的$L^2$-误差中保持最优收敛阶？
• RQ2 在求解原最优控制问题时，新离散化$L^1$-范数逼近是否保持与连续问题相同的收敛速率？
• RQ3 基于对偶的方法结合ABCD算法，能否实现PDE约束最优控制中$L^1$-范数更精确且更稳定的离散化？
• RQ4 新$L^1$-范数离散化对控制与状态变量整体有限元误差估计有何影响？

主要发现

• 新离散$L^1$-范数$\|u_h\|_{\widetilde{L}_h^1(\Omega_h)}$的逼近阶高于标准节点积分公式$\|u_h\|_{L_h^1(\Omega_h)}$，后者存在$O(h)$误差。
• 基于新$L^1$-范数离散化的原问题有限元误差估计表明，收敛阶保持最优，满足$\|u^* - u_h^*\|_{L^2(\Omega)} \leq C(\alpha^{-1}h + \alpha^{-3/2}h^2)$。
• 误差界与稀疏性参数$\beta$无关，表明在不同稀疏性条件下均具有鲁棒性。
• 基于对偶的方法结合ABCD算法，可导出更精确的$L^1$-范数逼近，避免了标准有限元离散化中非解耦次梯度的问题。
• 分析证明，新离散化不降低有限元方法的收敛速率，保持了控制在$L^2$-范数下的最优$O(h)$收敛阶。
• 在域的标准假设、解的正则性及有限元逼近的常规条件下，建立了误差估计，确保了方法的广泛适用性。