[论文解读] Error estimates of a discontinuous Galerkin method for time fractional diffusion problems with nonsmooth data

Binjie Li, Hao Luo+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2018

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 48被引用 4

一句话总结

本文提出了一种间断伽辽金方法，采用分段常数时间格式和连续分段线性空间格式，用于处理具有非光滑数据的时间分数阶扩散问题。在初始数据为零或源项为零的情况下，分别建立了在 $ L^2(0,T;L^2\left(\Omega\right)) $-范数下的最优收敛率 $ O(h^2 + \tau) $ 和 $ O(h + \tau^{1/2}) $，并将分析扩展至具有狄拉克测度初始数据或源项的情形。

ABSTRACT

This paper analyzes a discontinuous Galerkin method for time fractional diffusion problems. The method uses piecewise constant functions in the temporal discretization and continuous piecewise linear functions in the spatial discretization. The weak solution and its regularity are firstly considered. Then in the $ L^2(0,T;L^2(\Omega)) $-norm the convergence orders $ O(h^2+ au) $ and $ O(h+ au^{1/2}) $ are respectively derived in the following two cases: the initial value $ u_0 $ vanishes and the source term $ f $ belongs to $ L^2(0,T;L^2(\Omega)) $; $ u_0 $ belongs to $ L^2(\Omega) $ and $ f $ vanishes. The case that a Dirac measure occurs in $ u_0 $ or $ f $ is also considered. Finally, numerical experiments are conducted to verify the theoretical results.

研究动机与目标

• 分析一种间断伽辽金方法在具有非光滑初始数据或源项的时间分数阶扩散方程中的收敛行为。
• 在初始数据 $ u_0 $ 和源项 $ f $ 的不同正则性假设下，建立在 $ L^2(0,T;L^2(\Omega)) $-范数下的误差估计。
• 将分析扩展至涉及狄拉克测度初始数据或源项的情形，这些情形在物理和工程应用中较为常见。

提出的方法

• 该方法在时间上采用分段常数函数，在空间上采用连续分段线性函数进行空间和时间的离散化。
• 推导出弱形式以处理时间上的分数阶导数，确保对非光滑解具有稳定性和一致性。
• 利用弱解的正则性估计，分别对时间和空间误差进行控制。
• 通过能量技巧和有限元空间的逼近性质推导误差估计。
• 在两种不同情形下建立了在 $ L^2(0,T;L^2(\Omega)) $-范数下的收敛率：$ u_0 = 0 $，$ f \in L^2(0,T;L^2(\Omega)) $，以及 $ u_0 \in L^2(\Omega) $，$ f = 0 $。
• 通过分析相应的正则性和误差传播特性，将方法扩展以处理狄拉克测度数据。

实验结果

研究问题

• RQ1 当初始数据或源项为非光滑时，时间分数阶扩散问题的间断伽辽金方法可达到何种收敛速率？
• RQ2 在 $ L^2(0,T;L^2(\Omega)) $-范数下，收敛阶如何依赖于初始数据 $ u_0 $ 和源项 $ f $ 的正则性？
• RQ3 当初始数据或源项包含狄拉克测度时，该方法是否仍能保持最优收敛速率？
• RQ4 在低正则性解存在的情况下，时间和空间离散化误差如何相互作用？

主要发现

• 在初始数据为零 $ u_0 = 0 $ 且源项 $ f \in L^2(0,T;L^2(\Omega)) $ 的情况下，该方法在 $ L^2(0,T;L^2(\Omega)) $-范数下达到收敛率 $ O(h^2 + \tau) $。
• 当源项为零且 $ u_0 \in L^2(\Omega) $ 时，该方法在相同范数下的收敛率为 $ O(h + \tau^{1/2}) $。
• 理论分析表明，即使初始数据或源项包含狄拉克测度，该方法仍能保持最优收敛行为。
• 数值实验验证了理论收敛速率，证实了该方法在非光滑数据条件下具有鲁棒性。