[论文解读] Error estimates of the backward Euler-Maruyama method for multi-valued stochastic differential equations

Monika Eisenmann, Mihály Kovács+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 75被引用 3

一句话总结

本文建立了带凸、非光滑势的多值随机微分方程（MSDEs）的后向欧拉-丸屋马方法的收敛性。证明了在均方根范数下强收敛阶至少为 1/4，利用了确定性误差分析技术以及对多值漂移的广义单调性条件，该方法适用于随机梯度流和半离散随机 p-拉普拉斯方程。

ABSTRACT

In this paper, we derive error estimates of the backward Euler-Maruyama method applied to multi-valued stochastic differential equations. An important example of such an equation is a stochastic gradient flow whose associated potential is not continuously differentiable, but assumed to be convex. We show that the backward Euler-Maruyama method is well-defined and convergent of order at least $1/4$ with respect to the root-mean-square norm. Our error analysis relies on techniques for deterministic problems developed in [Nochetto, Savar\'e, and Verdi, Comm.\ Pure Appl.\ Math., 2000]. We verify that our setting applies to an overdamped Langevin equation with a discontinuous gradient and to a spatially semi-discrete approximation of the stochastic $p$-Laplace equation.

研究动机与目标

• 推导应用于带非光滑、凸势的多值随机微分方程（MSDEs）的后向欧拉-丸屋马方法的强收敛误差估计。
• 解决显式方法（如前向欧拉-丸屋马方法）在漂移超线性增长或不连续时发散的局限性。
• 将数值分析扩展至漂移为凸势次微分的 MSDEs，例如在不可微势能下的随机梯度流。
• 验证该方法在具体问题中的适用性，如具有不连续梯度的过阻尼朗之万方程和空间半离散化的随机 p-拉普拉斯方程。
• 在不依赖精确解的时间正则性条件下建立收敛性，这是准线性 SPDE 中常见的障碍。

提出的方法

• 将 MSDE 表述为 dX(t) + f(X(t)) dt ∋ b(X(t)) dt + g(X(t)) dW(t)，其中 f 为极大单调算子（例如凸势的次微分）。
• 应用后向欧拉-丸屋马格式：Xn ∈ Xn−1 − k f(Xn) + k b(Xn) + g(Xn−1) ΔWn，采用等距时间步长。
• 依赖广义单调性条件：对所有 v, w, z ∈ D(f)，有 ⟨fv − fz, z − w⟩ ≤ γ ⟨fv − fw, v − w⟩，其中 fv ∈ f(v)，等等，该条件对凸函数的次微分成立。
• 使用确定性误差分析技术（Nochetto 等，2000）来控制离散误差，避免使用 Gronwall 类型的论证。
• 在 b 和 g 满足全局利普希茨条件，且 f 满足单调性/强制性条件下，建立连续 MSDE 和离散格式的适定性。
• 将该方法应用于随机 p-拉普拉斯方程的半离散有限元逼近，将问题映射为有限维 SDE。

实验结果

研究问题

• RQ1 后向欧拉-丸屋马方法能否在经典光滑性假设不成立的非光滑、凸漂移的 MSDEs 上进行严格分析？
• RQ2 对于此类 MSDEs，特别是当漂移不连续或非利普希茨时，后向欧拉-丸屋马方法的收敛速率是多少？
• RQ3 当应用于具有不可微势能的随机梯度流时，该方法是否仍保持定义良好且收敛？
• RQ4 该误差分析能否扩展至无限维问题（如半离散 SPDEs），且无需对解的时间正则性施加假设？
• RQ5 广义单调性条件如何使 f 的收敛性分析在不依赖经典利普希茨连续性条件下得以实现？

主要发现

• 后向欧拉-丸屋马方法在带凸、非光滑漂移的 MSDEs 上是适定且收敛的，在 L²(Ω; Rd) 范数下具有至少 1/4 阶的强收敛性。
• 收敛结果在最小假设下成立：b 和 g 全局利普希茨连续，且 f 为极大单调算子（例如凸势的次微分）。
• 该方法适用于具有不连续梯度的过阻尼朗之万方程，例如 Φ(x) = |x|，此时在零点处梯度为多值。
• 该方法也适用于 p ∈ [1, 2) 时的随机 p-拉普拉斯方程的空间半离散逼近，此时漂移为非光滑。
• 误差界与解的时间正则性无关，这相较于先前需假设此类正则性的方法具有显著优势。
• 误差界中的常数 Ck^{1/4} 与时间步长 k 无关，但可能依赖于有限元维数 d，表明在完整时空离散化中仍需进一步分析。