[论文解读] Escobar-Yamabe compactifications for Poincare-Einstein manifolds and rigidity theorems

Xuezhang Chen, Mijia Lai+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 7, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows被引用 3

一句话总结

本文通过Escobar-Yamabe紧化方法建立了Poincaré-Einstein流形的刚性定理，证明了当涉及共形无穷远与紧化边界度量的Yamabe型不等式取等号时，当且仅当流形等距同构于双曲空间。该结果为共形无穷远共形等价于标准球面的Poincaré-Einstein流形的刚性定理提供了新的、简化的证明。

ABSTRACT

Let $(X^{n},g_+) $ $(n\geq 3)$ be a Poincaré-Einstein manifold which is $C^{3,α}$ conformally compact with conformal infinity $(\partial X, [\hat{g}])$. On the conformal compactification $(\overline{X}, \bar g=ρ^2g_+)$ via some boundary defining function $ρ$, there are two types of Yamabe constants: $Y(\overline{X},\partial X,[\bar g])$ and $Q(\overline{X},\partial X,[\bar g])$. (See definitions ( ef{def.type1}) and ( ef{def.type2})). In \cite{GH}, Gursky and Han gave an inequality between $Y(\overline{X},\partial X,[\bar g])$ and $Y(\partial X,[\hat{g}])$. In this paper, we first show that the equality holds in Gursky-Han's theorem if and only if $(X^{n},g_+)$ is isometric to the standard hyperbolic space $(\mathbb{H}^{n}, g_{\mathbb{H}})$. Secondly, we derive an inequality between $Q(\overline{X},\partial X,[\bar g])$ and $Y(\partial X, [\hat g])$, and show that the equality holds if and only if $(X^{n},g_+)$ is isometric to $(\mathbb{H}^{n}, g_{\mathbb{H}})$. Based on this, we give a simple proof of the rigidity theorem for Poincaré-Einstein manifolds with conformal infinity being conformally equivalent to the standard sphere.

研究动机与目标

• 建立紧化Poincaré-Einstein流形及其共形无穷远之间的Yamabe常数之间的精确不等式。
• 刻画这些不等式中取等号的条件，特别是与底流形几何的关系。
• 为共形无穷远共形等价于标准球面的Poincaré-Einstein流形的刚性定理提供简化证明。
• 分析在曲率与边界条件下Escobar-Yamabe紧化的结构。
• 证明Yamabe型不等式中取等号意味着流形等距同构于双曲空间。

提出的方法

• 在具有边界的紧化流形上定义两个Yamabe型常数：$ Y(\bar{X}, \bar{\nabla}X, [\bar{g}]) $ 和 $ Q(\bar{X}, \bar{\nabla}X, [\bar{g}]) $。
• 通过边界定义函数 $ \rho $ 使用Escobar-Yamabe紧化 $ \bar{g} = \rho^2 g_+ $，确保其具有 $ C^{3,\beta} $ 正则性。
• 应用正质量定理及Escobar和Brendle-Chen的结果，证明存在具有常数量曲率和全测地边界度量的度量。
• 从Gauss-Codazzi方程和条件 $ \bar{E} = 0 $ 推导出关键恒等式，表明里奇曲率为零。
• 利用Reilly公式和边界条件 $ N(u) = \text{constant} $ 推出流形等距同构于欧氏球面。
• 最终得出当不等式取等号时，$ (X, g_+) $ 必为等距同构于 $ (\bb{H}^n, g_{\bb{H}}) $。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $ Y(\bar{X}, \bar{\nabla}X, [\bar{g}]) $ 与 $ Y(\bar{\nabla}X, [\bar{g}]) $ 之间的Gursky-Han不等式中，等号在何种条件下成立？
• RQ2 在 $ Q(\bar{X}, \bar{\nabla}X, [\bar{g}]) $ 与 $ Y(\bar{\nabla}X, [\bar{g}]) $ 之间的新不等式中，等号在何时成立？
• RQ3 能否通过Yamabe型紧化方法重新证明共形无穷远共形等价于标准球面的Poincaré-Einstein流形的刚性？
• RQ4 何种几何约束使得当等号成立时，Escobar-Yamabe度量成为欧氏度量？
• RQ5 迹零里奇张量消失与边界脐形性如何导致与欧氏球面的等距同构？

主要发现

• 在Gursky-Han不等式 $ Y(\bar{X}, \bar{\nabla}X, [\bar{g}]) \triangleq Y(\bar{\nabla}X, [\bar{g}]) $ 中，等号成立当且仅当 $ (X, g_+) $ 等距同构于 $ (\bb{H}^n, g_{\bb{H}}) $。
• 在 $ Q $-常数不等式中，类似等号 $ Q(\bar{X}, \bar{\nabla}X, [\bar{g}]) \triangleq Y(\bar{\nabla}X, [\bar{g}]) $ 成立当且仅当 $ (X, g_+) \to (\bb{H}^n, g_{\bb{H}}) $。
• 当 $ Q $-不等式中取等号时，紧化度量 $ \bar{g} $ 的里奇曲率恒为零，意味着 $ \bar{R}_{\beta\beta} = 0 $。
• 边界被证明为脐形，且数量曲率 $ \bar{R} $ 为常数，从而推出 $ \bar{\nabla}^2 \rho = \frac{1}{n} (\triangle_{\bar{g}} \rho) \bar{g} $。
• 利用Reilly公式和边界条件 $ N(u) = \text{constant} $，证明流形 $ (\bar{X}, \bar{g}) $ 等距同构于单位欧氏球面。
• 因此，$ (X, g_+) $ 等距同构于 $ (\bb{H}^n, g_{\bb{H}}) $，完成了共形无穷远共形等价于 $ S^{n-1} $ 的刚性定理证明。