[论文解读] Essential Variables and Separable Sets in Universal Algebra

Slavcho Shtrakov, Klaus Denecke|ArXiv.org|Dec 10, 2008

Advanced Algebra and Logic参考文献 5被引用 16

一句话总结

本文通过将本质变量的概念扩展至项（terms）并定义变量的可分集合（separable sets），提出了一种新的通用代数中项、代数系统及种类（varieties）的复杂度度量方法。该复杂度在同构及常量符号变换下保持不变，是一种基于代数结构与代数上项运算的语义-句法复杂度度量。

ABSTRACT

The study of essential and strongly essential variables in functions defined on finite sets is a part of $k$-valued logic. We extend the main definitions from functions to terms. This allows us to apply concepts and results of Universal Algebra. On the basis of the concept of a separable set of variables in a term we introduce a new notion of complexity of terms, algebras and varieties and give examples.

研究动机与目标

• 将函数中的本质变量概念从函数推广至通用代数中的项。
• 基于变量的可分集合，定义项、代数系统及种类的新复杂度概念。
• 研究该复杂度度量在代数同构及常量符号变换下的行为。
• 建立该复杂度度量在代数模型结构变化下的不变性性质。

提出的方法

• 通过代数上诱导的项运算定义项的本质变量，推广基于函数的本质性概念。
• 引入项中变量可分集合的概念：若某变量子集 M 等于某个赋值下的本质变量集合，则称 M 为可分集合。
• 将项 t 关于变量子集 M 及代数 U 的 n-复杂度形式化为：使 M 成为 U 上 t 的本质变量集合的 X_n \ M 的赋值数量。
• 利用代数间的同构证明复杂度在同构结构间保持不变。
• 通过分析常量符号映射的影响，证明若多项式值集 V_p^U 的像集与原集具有相同基数，则复杂度保持不变。
• 应用赋值扩展与项运算复合的概念，定义代数上的多项式与项运算。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将函数中本质变量的概念推广至通用代数中的项？
• RQ2 可分变量集合在项复杂度中具有何种意义？
• RQ3 该新复杂度度量在代数同构下如何表现？
• RQ4 在何种条件下，项的复杂度在常量符号重标记下保持不变？
• RQ5 当通过同构或常量映射变换底层代数时，项的复杂度是否可保持不变？

主要发现

• 项 t 关于变量子集 M 及代数 U 的 n-复杂度在代数同构下保持不变，即对于同构代数 U 与 B，有 Cp^(3)(t,M,U) = Cp^(3)(t,M,B)。
• 当对多项式 p 的常量符号施加映射 g 时，若像集 V_p^U 的基数与原集相同，则复杂度保持不变。
• 使 M 成为 t 在代数 U 上的本质变量集合的 X_n \ M 的赋值，与在同构代数 B 上的赋值之间存在一一对应关系。
• 项的复杂度在变量置换下保持不变：对任意变量集的置换 σ，有 Cp^(3)(t,M,U) = Cp^(3)(f_σ(t),σ(M),U)。
• 复杂度度量 Cp^(3)(t,M,U) 是良定义的，且同时依赖于项的句法结构及其在代数中的语义行为。
• 不同项可能具有相同的复杂度，如引理 4.2 所示，表明复杂度并非项结构的唯一标识。