[论文解读] Estimates for character sums and Dirichlet $L$-functions to smooth moduli

A. J. Irving|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 2015

Analytic Number Theory Research参考文献 1被引用 3

一句话总结

本文通过使用 van der Corput $ABA^3B$ 过程的 $q$-类比，建立了当模数 $q$ 为无平方因子且 $q^\delta$-光滑时，特征和与 Dirichlet $L$-函数在 $s = \frac{1}{2}$ 处的改进上界。关键结果为 $L\left(\frac{1}{2},\chi\right) \ll_\epsilon q^{\frac{27}{164} + O(\delta) + \epsilon}$，打破了对足够光滑 $q$ 的 Weyl 障壁 $q^{1/6}$。该结果改进了以往对光滑模数的估计，并将指数对方法的适用范围扩展至具有光滑导子的特征和。

ABSTRACT

We use the $q$-analogue of van der Corput's method to estimate short character sums to smooth moduli. If $χ$ is a primitive Dirichlet character modulo a squarefree, $q^δ$-smooth integer $q$ we show that $$L(\frac12,χ)\ll_εq^{\frac{27}{164}+O(δ)+ε}.$$

研究动机与目标

• 改进当模数 $q$ 为无平方因子且 $q^\delta$-光滑时，特征和与 $L$-函数在 $s=1/2$ 处的已有估计。
• 通过开发 van der Corput $ABA^3B$ 过程的 $q$-类比，将指数对方法的适用范围扩展至光滑模数。
• 打破此前对光滑 $q$ 的 $L(\frac{1}{2}, \chi)$ 上界中 $q^{1/6}$ 的 Weyl 障壁。
• 通过实现 $q^{27/164 + O(\delta)}$ 而非 Heath-Brown 的 $q^{1/6 + O(\delta)}$，在定量上超越已有结果，其中 $27/164 \approx 0.1646 < 1/6 \approx 0.1667$。

提出的方法

• 该方法采用 van der Corput $ABA^3B$ 过程的 $q$-类比，适用于光滑且无平方因子的模数 $q$ 的特征和。
• 证明中采用因式分解 $q = q_0 q_1$，其中 $q_1 \in [q^{1/3}, q^{1/3 + \delta}]$，从而可对模数应用 $A$-过程以实现约化。
• 在 $A$-差分之后应用 $B$-过程（求和完成），并利用 $q$ 的光滑性，通过 $q_0$-扭曲 Weyl 和控制指数和。
• 分析涉及使用 $q_0$-扭曲 Weyl 和来有界 $k$-重指数和，并通过 $\tau_k(h)$ 和 $\gcd(h, q_0)^{1/2}$ 估计除数型和，从而导出关于 $k$ 的递归上界。
• 该方法依赖于一个关键引理，该引理通过在平移参数 $h_i$ 上取平均，估计一个完整区间上 Weyl 和的 $2^k$ 次幂，使用 $q_0$-扭曲特征和。
• 最终上界通过在 $k$ 上进行优化，并对 $L$-函数使用分部求和，以新得到的特征和估计（定理 1.1）替代 Burgess 上界而导出。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过改进的特征和估计，打破光滑模数下 $L(\frac{1}{2}, \chi)$ 的 Weyl 障壁 $q^{1/6}$？
• RQ2 是否存在最佳可能的指数 $\theta$，使得对所有无平方因子且 $q^\delta$-光滑的 $q$，有 $L(\frac{1}{2}, \chi) \ll_\epsilon q^{\theta + \epsilon}$ 成立？
• RQ3 van der Corput $ABA^3B$ 过程的 $q$-类比在多大程度上能将特征和估计改进至超越 Burgess 和 Heath-Brown 上界？
• RQ4 光滑参数 $\delta$ 如何影响 $L(\frac{1}{2}, \chi)$ 上界中的指数？该依赖关系能否显式表达？

主要发现

• 本文建立了对模数为无平方因子且 $q^\delta$-光滑的本原 Dirichlet 特征 $χ$，有 $L\left(\frac{1}{2}, \chi\right) \ll_\epsilon q^{\frac{27}{164} + O(\delta) + \epsilon}$，该结果优于此前的 $q^{1/6 + O(\delta)}$ 上界。
• 指数 $\frac{27}{164} \approx 0.1646$ 严格小于 $\frac{1}{6} \approx 0.1667$，因此对光滑模数打破了 Weyl 障壁。
• 证明了特征和估计 $\sum_{M \leq n \leq M+N} \chi(n) \ll_\epsilon N^{23/41} q^{11/82 + O(\delta) + \epsilon}$ 对 $N \leq q$ 成立，该估计是 $L$-函数上界的基础。
• 该方法通过开发 van der Corput $ABA^3B$ 过程的 $q$-类比，将经典指数对技术推广至光滑模数。
• 对于小的 $\delta$，改进具有显著的定量意义，因为 $O(\delta)$ 项使得指数可随 $\delta \to 0$ 趋近于 $27/164$。
• 结果表明，当模数不仅光滑且为无平方因子时，可获得更强的上界，且 $ABA^3B$ 方法的 $q$-类比在光滑 $q$ 的情形下对先前方法实现了非平凡的改进。