[论文解读] Estimates for differential operators of vector analysis involving $L^1$-norm

Vladimir Maz’ya|ArXiv.org|Aug 4, 2008

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 7被引用 7

一句话总结

本文建立了关于 $\mathbb{R}^n$ 中标量场与向量场的新型 Hardy 与 Sobolev 型不等式，涉及 $L^1$-范数，解决了 H. Brezis 提出的关于散度为零的向量场 $L^1$-估计有效性的问题。关键贡献在于建立了一个将梯度的 $L^1$-范数与拉普拉斯算子的 $L^1$-范数关联的精确不等式，其必要且充分条件涉及在单位球面上齐次函数的球面对称平均为零。

ABSTRACT

New Hardy and Sobolev type inequalities involving $L^1$-norms of scalar and vector-valued functions in $\Bbb{R}^n$ are obtained. The work is related to some problems stated in the recent paper by Bourgain and Brezis

研究动机与目标

• 为解决 H. Brezis 提出的关于散度为零向量场的 $L^1$-范数涉及的 Hardy 型不等式有效性问题。
• 为涉及牛顿势与球面上齐次函数的微分算子的 $L^1$-估计建立必要且充分条件。
• 将这些估计推广至向量值函数与负阶 Hilbert-Sobolev 空间，特别是 $\mathcal{H}^{-s}(\mathbb{R}^n)$。
• 基于对偶性，为 $L^1$-函数空间中的椭圆型与旋度型方程提供解的存在性结果。

提出的方法

• 证明依赖于将牛顿势的梯度分解为基于 $|x|$ 相对空间环形区域的局部化分量 $A_1, A_2, A_3, A_4$。
• 通过点态估计与 Minkowski 不等式推导各分量的估计，利用函数 $\Phi$ 的齐次性与利普希茨条件。
• 通过径向平滑 Dirac delta 函数，证明球面对称平均条件 $\int_{S^{n-1}} \Phi \, d\omega_x = 0$ 的必要性。
• 通过三角不等式与 $\Phi$ 的利普希茨性质，对 $L^q$-型积分进行有界，从而实现对 $L^1$-范数的控制。
• 利用对偶性与傅里叶分析，推导 Hilbert-Sobolev 空间 $\mathcal{H}^{-s}$ 中的估计，特别是针对 $s = n/2$ 与 $s = 1+n/2$ 的情形。
• 通过涉及 $\mathrm{div}$、$\mathrm{curl}$ 与拉普拉斯算子的恒等式，将结果推广至向量场，得到在 $\mathcal{H}^{-5/2}$ 与基于 $L^1$ 的范数下的估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于散度为零的 $\Delta{\bf u}$，不等式 $\left| \int_{\mathbb{R}^n} |D{\bf u}(x)| \frac{dx}{|x|} \right| \leq C \int_{\mathbb{R}^n} |\Delta{\bf u}(x)| \, dx$ 是否成立？
• RQ2 对于所有 $u \in C_0^\infty$，常数 $a_j$ 满足何种条件时，不等式 $\left| \int_{\mathbb{R}^n} \sum_j a_j \left| \frac{\partial u}{\partial x_j} \right| \frac{dx}{|x|} \right| \leq C \int_{\mathbb{R}^n} |\Delta u| \, dx$ 成立？
• RQ3 能否为满足 $\mathrm{div}\,{\bf g} \in \mathcal{H}^{-1-n/2}$ 的 $L^1$ 向量场 $\mathbf{g}$ 建立估计 $\left| \|{\bf g}\|_{\mathcal{H}^{-n/2}}^2 - n \|\mathrm{div}\,{\bf g}\|_{\mathcal{H}^{-1-n/2}}^2 \right| \leq C \|{\bf g}\|_{L^1}^2$？
• RQ4 当 ${\bf f} \in \mathcal{H}^{1/2}$ 且 $\mathrm{div}\,{\bf f} = 0$ 时，$\mathrm{curl}\,{\bf u} = {\bf f}$ 在 $\mathbb{R}^3$ 中是否存在基于对偶性的解？

主要发现

• 对于所有 $u \in C_0^\infty$，不等式 $\left| \int_{\mathbb{R}^n} \sum_j a_j \left| \frac{\partial u}{\partial x_j} \right| \frac{dx}{|x|} \right| \leq C \int_{\mathbb{R}^n} |\Delta u| \, dx$ 成立的充要条件是 $\sum_j a_j = 0$。
• 对于标量函数，当且仅当 $\int_{S^{n-1}} \Phi(x) \, d\omega_x = 0$ 时，不等式 $\sup_{R>0} \left| \int_{|x|<R} \Phi(\nabla u(x)) |x|^{n(q-1)-q} dx \right| \leq C \|f\|_{L^1}^q$ 成立，其中 $\Phi$ 为次数 $q \in [1, \frac{n}{n-1})$ 的齐次函数。
• 对于所有满足 $\mathrm{div}\,{\bf g} \in \mathcal{H}^{-1-n/2}$ 的 $\mathbf{g} \in L^1$，不等式 $\left| \|{\bf g}\|_{\mathcal{H}^{-n/2}}^2 - n \|\mathrm{div}\,{\bf g}\|_{\mathcal{H}^{-1-n/2}}^2 \right| \leq \frac{(2\sqrt{\pi})^{-n}}{\Gamma(n/2)} \|{\bf g}\|_{L^1}^2$ 成立。
• 对偶不等式确认了文献 [BB2] 中对 $l=1$，$p=2$，$s=n/2$ 的开放问题 2 的肯定答案。
• 在 $\mathbb{R}^3$ 中，若 ${\bf f} \in \mathcal{H}^{1/2}$ 且 $\mathrm{div}\,{\bf f} = 0$，则方程 $\mathrm{curl}\,{\bf u} = {\bf f}$ 在 $\mathcal{H}^{3/2} \cap L^\infty$ 中存在解。
• 当 $\mathrm{curl}\,{\bf w} = {\bf f} + {\bf g}$，$\mathrm{div}\,{\bf w} = 0$，且 $\int {\bf g} = 0$ 时，不等式 $\left| \|\Delta{\bf w} + \mathrm{curl}\,{\bf f}\|_{\mathcal{H}^{-5/2}}^2 - 2\|\mathrm{div}\,{\bf f}\|_{\mathcal{H}^{-5/2}}^2 \right| \leq \frac{1}{4\pi^2} \|{\bf g}\|_{L^1}^2$ 成立。