[论文解读] Estimates for the closeness of convolutions of probability distributions on convex polyhedra

Friedrich Götze, A. Yu. Zaîtsev|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2018

Approximation Theory and Sequence Spaces参考文献 10被引用 5

一句话总结

本文建立了在Rd中凸多面体上概率分布连续卷积的非一致界，将Arak和Zaitsev的方法推广至多维情形。研究推导了n重卷积与相应复合泊松分布之间Kolmogorov距离的显式估计，表明衰减速率依赖于分布在m个方向上的投影的集中函数，对对称和正分布可获得更优的衰减速率。关键贡献是一组不等式，量化了在多面体集上收敛性，且显式依赖于几何与概率参数。

ABSTRACT

The aim of the present work is to show that the results obtained earlier on the approximation of distributions of sums of independent summands by the accompanying compound Poisson laws and the estimates of the proximity of sequential convolutions of multidimensional distributions may be transferred to the estimation of the closeness of convolutions of probability distributions on convex polyhedra.

研究动机与目标

• 将现有结果从独立随机向量和的复合泊松近似推广至Rd中凸多面体上支撑的分布情形。
• 推导在凸多面体集上，卷积分布与相应复合泊松近似律之间Kolmogorov距离ρm(G, H)的非一致界。
• 量化F^n与F^{n+1}在多面体集上的收敛速率，尤其针对对称和正分布。
• 将先前关于均匀与非均匀近似的成果推广至d维分布的m维投影情形。
• 为i.i.d.随机向量随机个数和的分布在凸多面体集上建立边界。

提出的方法

• 使用m元版本的三角函数方法及其推广，分析形如X = {x ∈ Rd : aj ≤ ⟨x, tj⟩ ≤ bj}（j=1,…,m）的集合上分布的接近度，其中tj ∈ Rd为m个方向。
• 引入几何集中函数q(H, X) = inf_{||t||=1} Q(L(⟨ξ,t⟩), λ({⟨x,t⟩: x∈X})), 衡量分布H在方向t上投影在集合X上的散布程度。
• 应用形如|G{X} − H{X}| ≤ c(m) ε的界，其中ε依赖于集中函数与对数项，推导ρm(G, H) = sup_{X∈Xm} |G{X} − H{X}|的非一致估计。
• 建立F^n与相应复合泊松律e(nF)之间距离的不等式，其衰减速率依赖于n^{-1}、集中函数q1及对数校正项。
• 推导混合分布Gi = (1−pi)E + piVi的情形，表明距离随p = max pi线性衰减。
• 利用d维对称或正分布在m个方向上的投影仍属于F_d^{(α)}或F_d^+的性质，使已知的一维边界可应用于m维投影问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于F ∈ F_d^{(α)}且0 ≤ α ≤ 2的d维分布，其连续卷积在凸多面体集上向伴随复合泊松律收敛的速度如何？
• RQ2 对于凸多面体X ∈ Xm，|(F^n){X} − (F^{n+1}){X}|的衰减速率是多少？其如何依赖于X的几何结构与分布F？
• RQ3 能否通过引入投影分布的集中函数，改进多面体集上Kolmogorov距离的非一致界？
• RQ4 在何种条件下，距离ρm(F^n, F^{n+k})的衰减快于O(n^{-1/2})？其如何依赖于F的对称性与正性？
• RQ5 对于i.i.d.向量随机个数和的分布，其边界如何依赖于随机指标的分布与多面体集的几何结构？

主要发现

• 对于F ∈ F_d^{(α)}且0 ≤ α ≤ 2，有|(F^n){X} − D{X}| ≤ c(m) [n^{-1} q_1^{1/5} (|log q_1| + 1)^{(17m+24)/5} + exp(−nα + c m log^3 n)]对任意X ∈ Xm成立，其中D = e(nF)，q_1 = q(D, X)。
• 对同一类分布，有|(F^n){X} − (F^{n+1}){X}| ≤ c(m) [n^{-1} q_1^{1/3} (|log q_1| + 1)^{3m+2} + exp(−nα + c m log^3 n)]，表明当集中函数q_1较小时衰减更快。
• 对于对称分布F ∈ F_s^d，有ρ_m(F^n, e(nF)) ≤ c(m) n^{-1/2}，优于一般情形下的O(n^{-1})速率。
• 对于混合分布Gi = (1−pi)E + piVi且p = max pi，有|G{X} − D{X}| ≤ c(m) q_2^{1/3} (|log q_2| + 1)^{3m+2} p，其中D = e(G_1 * ... * G_n)，表明与p呈线性依赖。
• 对于其在m个方向上的投影为非退化或退化于一点的分布，有|(F^n){X} − (F^{n+1}){X}| ≤ c(F, t_1, ..., t_m) n^{-1/2}对所有X ∈ X(t_1, ..., t_m)成立，表明在弱条件下存在统一的O(n^{-1/2})衰减速率。
• 对于i.i.d.向量随机个数和的分布，当F ∈ F_d^+时，有ρ_m(G, H) ≤ inf_E min{ c(m) |μ−ν|/(ν+1), 1 }；当F ∈ F_s^d时，有ρ_m(G, H) ≤ inf_E min{ c(m)/√(ν+1) + c(m)|μ−ν|/(ν+1), 1 }，表明衰减速率依赖于随机指标的均值与方差。