[论文解读] Estimates for the Initial Coefficients of Bi-univalent Functions

S. Sivaprasad Kumar, Virendra Kumar+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2012

Analytic and geometric function theory参考文献 10被引用 15

一句话总结

本文建立了亚纯单芽函数在通过亚纯函数子序关系定义的子类中初始系数 $ a_2 $ 和 $ a_3 $ 的精确估计。通过子序关系和系数比较技术，作者在各种函数类约束下推导出 $ |a_2| $ 和 $ |a_3| $ 的显式上界，推广了早期结果，并改进了已知的双星型、双凸型及类似单芽函数类的估计。

ABSTRACT

A bi-univalent function is a univalent function defined on the unit disk with its inverse also univalent on the unit disk. Estimates for the initial coefficients are obtained for bi-univalent functions belonging to certain classes defined by subordination and relevant connections with earlier results are pointed out.

研究动机与目标

• 推导双单芽函数初始系数 $ a_2 $ 和 $ a_3 $ 的改进系数估计。
• 通过引入子序关系到具有正实部的函数所定义的类，拓展先前关于系数界的研究。
• 推广早期关于双星型和双凸型函数（阶为 $ \beta $）以及强双星型函数的研究成果。
• 通过子序关系和系数比较技术，在统一框架下统一并改进现有估计。
• 在主要控制函数 $ \varphi $ 的参数下，提供 $ |a_2| $ 和 $ |a_3| $ 的显式精确界。

提出的方法

• 定义双单芽函数 $ f \in \sigma $，其泰勒展开为 $ f(z) = z + \sum_{n=2}^\infty a_n z^n $，其中 $ f $ 及其逆函数 $ f^{-1} $ 均在单位圆盘上单芽。
• 利用子序关系：$ f \in \mathcal{S}^*(\varphi) $ 且 $ F = f^{-1} \in \mathcal{R}(\varphi) $，其中 $ \varphi $ 为解析、单芽函数，满足 $ \operatorname{Re}(\varphi(z)) > 0 $，$ \varphi(0) = 1 $，且 $ \varphi'(0) > 0 $。
• 引入辅助函数 $ p(z) = \frac{1 + w(z)}{1 - w(z)} $，$ q(w) = \frac{1 + v(w)}{1 - v(w)} $，其中 $ w, v $ 为解析函数且满足 $ |w(z)| \leq |z| $，以表示子序关系条件。
• 将系数 $ a_2 $、$ a_3 $ 用 $ \varphi(z) = 1 + B_1 z + B_2 z^2 + \cdots $ 的系数 $ B_1, B_2 $ 以及 $ p $、$ q $ 的系数 $ p_1, p_2, q_1, q_2 $ 表示。
• 应用由正实部函数的 Herglotz 表示导出的界 $ |p_i| \leq 2 $，$ |q_i| \leq 2 $。
• 推导出 $ a_2^2 $ 和 $ a_3 $ 关于 $ B_1, B_2 $ 以及 $ p_i, q_i $ 的显式公式，再通过三角不等式和系数界进行优化。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于通过子序关系定义于 $ \varphi $ 的双单芽函数，$ |a_2| $ 和 $ |a_3| $ 的最佳可能上界是什么？
• RQ2 当 $ f \in \mathcal{S}^*(\varphi) $ 且 $ f^{-1} \in \mathcal{R}(\varphi) $，或 $ f^{-1} \in \mathcal{K}(\varphi) $ 时，$ |a_2| $ 和 $ |a_3| $ 的估计如何变化？
• RQ3 对于特殊情形如 $ \varphi(z) = (1 + Az)/(1 + Bz) $ 或 $ \varphi(z) = (1 + (1 - 2\beta)z)/(1 - z) $，这些界能否进一步优化？
• RQ4 与先前已知结果（如 Tan (1985) 或 Kedzierawski (1985)）相比，新估计有何差异？
• RQ5 当 $ f $ 和 $ f^{-1} $ 均为阶 $ \beta $ 的星型或凸型函数时，$ |a_2| $ 和 $ |a_3| $ 的最优界是什么？

主要发现

• 当 $ f \in \mathcal{S}^*(\varphi) $ 且 $ f^{-1} \in \mathcal{R}(\varphi) $ 时，得到界 $ |a_2| \leq \sqrt{5(B_1 + |B_2 - B_1|)}/3 $ 和 $ |a_3| \leq 7(B_1 + |B_2 - B_1|)/9 $。
• 当 $ f \in \mathcal{S}^*(\varphi) $ 且 $ f^{-1} \in \mathcal{K}(\varphi) $ 时，估计为 $ |a_2| \leq \sqrt{(B_1 + |B_2 - B_1|)/2} $ 和 $ |a_3| \leq (B_1 + |B_2 - B_1|)/2 $。
• 当 $ \varphi(z) = (1 + (1 - 2\beta)z)/(1 - z) $ 时，界变为 $ |a_2| \leq \sqrt{10(1 - \beta)}/3 \approx 1.054 $ 和 $ |a_3| \leq 14(1 - \beta)/9 \approx 1.56 $，其中 $ \beta = 0 $。
• 当 $ f \in \mathcal{K}(\beta) $ 且 $ f^{-1} \in \mathcal{R}(\beta) $ 时，估计为 $ |a_2| \leq \sqrt{3(1 - \beta)}/2 \approx 0.867 $ 和 $ |a_3| \leq 5(1 - \beta)/6 \approx 0.833 $，当 $ \beta = 0 $ 时，有 $ |a_2| \leq \sqrt{3}/2 $，$ |a_3| \leq 5/6 $。
• 当 $ f \in \mathcal{S}^*(\beta) $ 且 $ f^{-1} \in \mathcal{K}(\beta) $ 时，界为 $ |a_2| \leq \sqrt{1 - \beta} $ 和 $ |a_3| \leq 1 - \beta $，当 $ \beta = 0 $ 时，得到 $ |a_2| \leq 1 $，$ |a_3| \leq 1 $。
• 结果推广并改进了 Tan (1985)、Kedzierawski (1985) 以及 Brannan 和 Taha (1985) 的早期估计，通过子序关系为双单芽函数类的系数界提供了一个统一的框架。