[论文解读] Estimates in Generalized Morrey Spaces for Weak Solutions to Divergence Degenerate Parabolic Systems

Yan Dong, Maochun Zhu+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2011

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 19被引用 3

一句话总结

本文为与Hörmander向量场相关的退化抛物系统弱解的梯度建立了广义Morrey空间中的估计。通过利用Caccioppoli型不等式、反向Hölder不等式以及VMO系数，作者证明了在数据和系数满足适当的可积性与正则性条件时，水平梯度 $Xu$ 属于广义Morrey空间 $L_{\rho}^{2,\mu}$。

ABSTRACT

Let $\mathrm{X}=(X_{1},...,X_{q})$ be a family of real smooth vector fields satisfying Hömander's condition. The purpose of this paper is to establish gradient estimates in generalized Morrey spaces for weak solutions of the divergence degenerate parabolic system related to $X$ :%\[u_{t}^{i}+X_α^{\ast}(a_{ij}^{αβ}(z)X_βu^{j}%)=g_{i}+X_α^{\ast}f_{i}^α(z), \] where $α,β=1,2,...,q,$ $i,j=1,2,...,N$, $X_α^{\ast}$ is the transposed vector field of $X_α$, $z=(t,x)\in{\mathbb{R}}^{n+1}$, and coefficients $a_{ij}^{αβ}(z)$ belong to the space $VMO$ induced by the vector fields $X_{1}, ...,X_{q}$.

研究动机与目标

• 建立退化抛物系统弱解的水平梯度 $Xu$ 在 $L^2$ 和广义Morrey空间中的估计。
• 将经典Morrey空间结果从欧氏空间推广到由Hörmander向量场控制的子黎曼空间。
• 处理在向量场结构下具有VMO（振幅趋于零）系数的系统。
• 证明梯度 $Xu$ 继承了低阶数据 $f_i^\alpha$ 和 $g_i$ 在广义Morrey空间中的可积性。
• 通过采用子黎曼几何工具并借鉴欧氏情形的技术，克服由于向量场不可交换导致的可微性缺失。

提出的方法

• 使用Caccioppoli型不等式（引理3.1）控制小圆柱体内 $Xu$ 的 $L^2$-范数。
• 在齐次空间中应用反向Hölder不等式，获得 $Xu$ 的更高阶可积性（定理3.9）。
• 将Mcbride（2010）在欧氏情形下处理VMO系数的技术，通过Xu（2008）的结果推广至子椭圆情形。
• 采用截断函数和局部化技术，将局部估计扩展至紧子集 $Q' \Subset Q'' \Subset Q_T$。
• 使用具有加倍函数 $\varphi$ 的广义Morrey范数 $\| \cdot \|_{L_{\varphi}^{2,\lambda}}$，其中 $r^{\gamma - \lambda}/\varphi^2(r)$ 几乎递增。
• 证明依赖于能量估计与 $\varepsilon$ 吸收技术的插值，结合系数 $a_{ij}^{\alpha\beta}$ 的一致椭圆性与VMO正则性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种数据与系数条件下，退化抛物系统弱解的水平梯度 $Xu$ 属于广义Morrey空间？
• RQ2 满足Hörmander条件的向量场 $X_1, \dots, X_q$ 的性质如何影响Morrey型空间中解的正则性？
• RQ3 能否将欧氏空间中抛物系统经典的 $L^p$ 与Morrey空间估计推广至由Hörmander向量场驱动的系统？
• RQ4 系数的VMO条件在实现广义Morrey空间中梯度估计时起到何种作用？
• RQ5 齐次度 $Q$ 与Morrey指数 $\lambda$ 之间的相互作用如何影响 $Xu$ 的可积性？

主要发现

• 只要 $\lambda < \gamma < Q+2$ 且 $r^{\gamma - \lambda}/\varphi^2(r)$ 几乎递增，则对任意 $Q' \Subset Q'' \Subset Q_T$，水平梯度 $Xu$ 属于广义Morrey空间 $L_{\varphi}^{2,\lambda}(Q')$。
• 如下估计成立：$\|Xu\|_{L_{\varphi}^{2,\lambda}(Q')}^2 \leq c\left(\|Xu\|_{L^2(Q'')} + \|f\|_{L_{\varphi}^{2,\lambda}(Q_T)} + \|g\|_{L_{\varphi}^{2,\lambda}(Q_T)}\right)$，表明Morrey范数在数据与低阶项控制下具有稳定性。
• 对任意 $\rho \leq R$ 且 $Q_R \subset Q_T$，有估计 $\iint_{Q_\rho} |Xu|^2 \, dz \leq c \frac{\rho^{\lambda} \varphi^2(\rho)}{R^{\lambda} \varphi^2(R)} \iint_{Q_R} |Xu|^2 \, dz + c \rho^{\lambda} \varphi^2(\rho) (\|f\|_{L_{\varphi}^{2,\lambda}}^2 + \|g\|_{L_{\varphi}^{2,\lambda}}^2)$，建立了局部与全局范数之间的联系。
• 证明依赖于将 $u = w + v$ 分解，其中 $w$ 解齐次系统，$v$ 解非齐次系统，从而分别控制梯度分量。
• 该结果将已知的 $L^p$ 与Morrey估计推广至具有VMO系数的子椭圆情形，推广了早期在欧氏情形下的结果。
• 该方法成功克服了由于向量场不可交换导致的可微性缺失，通过使用子黎曼几何工具以及该背景下VMO正则性的已知结果。