[论文解读] Estimates of Green Function for some perturbations of fractional Laplacian

Tomasz Grzywny, Michał Ryznar|arXiv (Cornell University)|May 14, 2006

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 10被引用 9

一句话总结

本文在对称 Lévy 过程 $Y_t$ 的 Lévy 测度差满足特定条件时，建立了其 Green 函数的双边估计，该过程是各向同性 $\alpha$-稳定过程的扰动。通过基于复合泊松过程和边界 Harnack 原理的初等概率方法，证明了当 Lévy 测度差在原点附近为 $O(|x|^{-d+\varrho})$ 时，$Y_t$ 与稳定过程在有界 Lipschitz 域中的 Green 函数具有可比较性，将先前结果推广至一维情形，并涵盖更一般的过程（如相对论性 $\alpha$-稳定过程）。

ABSTRACT

Suppose that Y(t) is a d-dimensional Levy symmetric process for which its Levy measure differs from the Levy measure of the isotropic alpha-stable process (00, we prove that the Green functions are comparable, provided D is connected. These results apply for example to alpha-stable relativistic process. This process was studied in recent years. In the paper we also considered one dimensional case for alpha<= 1 and proved that the Green functions for an open and bounded interval are comparable.

研究动机与目标

• 比较对称 Lévy 过程 $Y_t$ 与各向同性 $\alpha$-稳定过程的 Green 函数，当它们的 Lévy 测度之差为有限带符号测度时。
• 将先前局限于 $d > \alpha$ 和 $C^{1,1}$ 域的可比较性结果，推广至有界 Lipschitz 域及一维情形下的 $\alpha \geq 1$。
• 在 Lévy 测度差的假设更弱的条件下建立可比较性，具体为：在原点附近满足 $|\sigma(x)| \leq c|x|^{-d+\varrho}$，且无需差值为正。
• 提供一种替代现有方法（如漂移变换）的新方法，可处理 $Y_t$ 的 Lévy 测度在原点邻域外消失的情形。

提出的方法

• 当两过程 Lévy 测度之差为正的有限测度时，将扰动过程 $Y_t$ 表示为稳定过程与一个独立的复合泊松过程之和。
• 在确保存在调和函数比较的前提下，应用扰动过程 $Y_t$ 的边界 Harnack 原理（BHP）。
• 通过与稳定过程比较，建立对势测度和首出时的估计，依赖于在弱假设下 $E^x \tau^Y_D \approx E^x \widetilde{\tau}_D$ 的事实。
• 利用截断 Green 函数和 Harnack 不等式，比较 $G^Y_D(x,y)$ 与 $\widetilde{G}_D(x,y)$，尤其在 $|x-y|$ 相对于到边界距离较小时的情形。
• 通过一个中间过程 $Z_t$ 实施比较论证，其 Lévy 测度同时支配 $\nu^Y$ 和 $\widetilde{\nu}$，从而实现从 $Z_t$ 到 $Y_t$ 的可比较性传递。
• 结合已知的稳定 Green 函数估计 $\widetilde{G}_D(x,y) \approx |x-y|^{\alpha-d}$ 在内部及边界附近的行为，以及首出时间的性质，完成分析。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种 Lévy 测度差条件下，有界 Lipschitz 域中扰动对称 Lévy 过程的 Green 函数与各向同性 $\alpha$-稳定过程的 Green 函数具有可比较性？
• RQ2 可比较性结果能否推广至 $\alpha \geq 1$ 的一维域？此前结果仅限于 $d > \alpha$。
• RQ3 当 Lévy 测度差不一定是正的，但仅在原点附近满足 $O(|x|^{-d+\varrho})$ 有界时，可比较性是否仍然成立？
• RQ4 该方法能否处理 $Y_t$ 的 Lévy 测度在原点邻域外消失的情形？此类情形无法用 [CS3] 或 [KL] 中的漂移变换方法处理。
• RQ5 当 Lévy 测度差满足局部可积性条件时，$Y_t$ 的边界 Harnack 原理是否足以导出其 Green 函数的双边估计？

主要发现

• 对于有界 Lipschitz 域 $D$，若差值 $\sigma(x) = \widetilde{\nu}(x) - \nu^Y(x)$ 非负，且满足 $\sigma(x) \leq c|x|^{\varrho - d}$ 对于 $|x| \leq 1$，其中 $\varrho > 0$，则 $G^Y_D(x,y)$ 与 $\widetilde{G}_D(x,y)$ 可比较，常数为 $C = C(d,\alpha,D,\varrho,c)$。
• 即使 $\sigma(x)$ 不非负，只要满足 $|\sigma(x)| \leq c|x|^{-d+\varrho}$ 对于 $|x| \leq 1$，且 $\nu^Y(x)$ 在 $B^c(0,1)$ 上有界，则 Green 函数仍保持可比较，常数为 $C = C(d,\alpha,D,\varrho,\sigma)$。
• 一维情形下 $\alpha \geq 1$ 的结果由主要定理覆盖，提供了文献中此前未建立的新结果。
• 该方法可处理 $\nu^Y(x)$ 在原点邻域外消失的 Lévy 过程，而这是 [CS3] 或 [KL] 中漂移变换方法所无法处理的情形。
• 在给定条件下，$Y_t$ 的边界 Harnack 原理得以建立，从而可比较调和函数，并最终导出 Green 函数的双边估计。
• 结果将已知的相对论性 $\alpha$-稳定过程的可比较性推广至所有有界 Lipschitz 域，并包含一维情形。