[论文解读] Estimates of Some Functions Over Primes without R.H.

Pierre Dusart|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2010

Analytic Number Theory Research参考文献 1被引用 90

一句话总结

本文在不假定黎曼猜想的前提下，提供了切比雪夫函数 ϑ(x) 和 ψ(x) 的显式、有效的界限，利用经验证的零点自由区域及黎曼 zeta 函数非平凡零点的数值计算。通过广泛验证 zeta 函数零点至 10¹³，本文对 π(x)、第 k 个素数 pₖ 及素数间隙建立了更紧的误差估计，优于以往结果。

ABSTRACT

Some computations made about the Riemann Hypothesis and in particular, the verification that zeroes of zeta belong on the critical line and the extension of zero-free region are useful to get better effective estimates of number theory classical functions which are closely linked to zeta zeroes like psi(x), theta(x), pi(x) or the k-th prime number.

研究动机与目标

• 在不假定黎曼猜想的前提下，推导 ϑ(x) 和 ψ(x) 的有效、显式上界与下界。
• 利用 ϑ(x) 和 ψ(x) 的界限，改进第 k 个素数 pₖ 的估计。
• 建立显式区间，保证其中至少包含一个素数，改进已知的素数间隙估计。
• 通过显式常数构造 π(x) 的更紧、经数值验证的界限。

提出的方法

• 利用恒等式 ψ(x) = ∑ₖ₌₁^∞ ϑ(x¹ᐟᵏ) 关联 ψ(x) 与 ϑ(x)，实现递归估计。
• 利用黎曼 zeta 函数已知的零点自由区域，并通过数值验证非平凡零点至 10¹³，以优化误差项。
• 应用罗瑟、施文德勒等人关于 ψ(x) 和 ϑ(x) 的结果，结合显式误差界，特别针对 x ≥ 3,594,641 的情形。
• 利用 π(x) ≈ x / ln x 的关系，并推导误差项中含显式常数的更紧上界与下界。
• 利用 ln k 与 ln₂ k 的渐近展开式表示 pₖ，通过 ϑ(x) 的界限优化系数。
• 通过高达 8×10¹¹ 的 ϑ(x)、π(x) 与 pₖ 的详尽表格对结果进行数值验证，各区间内常数依序确定。

实验结果

研究问题

• RQ1 在不假定黎曼猜想的前提下，ϑ(x) − x 的最紧显式界限是什么？
• RQ2 如何利用 ϑ(x) 和 ψ(x) 的改进界限，推导出更紧的第 k 个素数 pₖ 的估计？
• RQ3 对于 x ≥ 396,738，区间 [x, x + x/(25 ln²x)] 的最小长度是多少，可保证其中至少包含一个素数？
• RQ4 如何构造 π(x) 的显式、经数值验证的界限，使误差项中的常数更优？
• RQ5 对于 x 最大至 8×10¹¹，最优常数 a₅、b₅、a₆、b₆、a₇、b₇ 分别为何，使得 π(x) 落在指定范围内？

主要发现

• 对所有 x > 0，有 |ϑ(x) − x| < x / 36,260，提供一个普遍适用的绝对误差界。
• 当 x ≥ 3,594,641 时，|ϑ(x) − x| ≤ 0.2x / ln²x，显著优于以往的显式界限。
• 当 k ≥ 688,383 时，有 pₖ ≤ k(ln k + ln₂k − 1 + (ln₂k − 2)/ln k)，对 pₖ 的渐近展开进行了优化。
• 当 k ≥ 3 时，有 pₖ ≥ k(ln k + ln₂k − 1 + (ln₂k − 2.1)/ln k)，建立了更紧的下界。
• 当 x ≥ 396,738 时，区间 [x, x + x/(25 ln²x)] 中至少包含一个素数，改进了素数间隙估计。
• 当 x ≥ 2,953,652,287 时，有 π(x) ≤ x / ln x × (1 + 1/ln x + 2.334 / ln²x)，提供了含显式常数的紧致上界。