[论文解读] Estimating Drift Parameters in a Fractional Ornstein Uhlenbeck Process with Periodic Mean

Herold Dehling, Brice Franke+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 1被引用 2

一句话总结

本文提出了一类分数阶Ornstein-Uhlenbeck过程中漂移参数的最小二乘估计，该过程具有周期性均值和长程依赖性。通过使用发散型随机积分，作者建立了相合性与渐近正态性，收敛速度为 $ n^{1-H} $，由于周期性均值结构和长记忆效应，该速度慢于经典情形的 $ n^{1/2} $ 速度。

ABSTRACT

We construct a least squares estimator for the drift parameters of a fractional Ornstein Uhlenbeck process with periodic mean function and long range dependence. For this estimator we prove consistency and asymptotic normality. In contrast to the classical fractional Ornstein Uhlenbeck process without periodic mean function the rate of convergence is slower depending on the Hurst parameter $H$, namely $n^{1-H}$.

研究动机与目标

• 估计分数阶Ornstein-Uhlenbeck过程中漂移参数 $ \theta = (\mu_1, \dots, \mu_p, \alpha)^T $，其中周期性均值函数为 $ L(t) = \sum_{i=1}^p \mu_i \phi_i(t) $。
• 解决结合均值回归、长程依赖性（通过分数布朗运动 $ H > 1/2 $ 实现）和周期性确定趋势的模型中参数估计的挑战。
• 在连续观测于随时间区间增长的区间内，建立最小二乘估计量的渐近性质——相合性与渐近正态性。
• 刻画周期性均值与长程依赖性对收敛速度的影响，表明其减慢至 $ n^{1-H} $。

提出的方法

• 通过随机微分方程表述该过程：$ dX_t = \left( \sum_{i=1}^p \mu_i \phi_i(t) - \alpha X_t \right) dt + \sigma dB_t^H $，其中 $ H \in (1/2, 3/4) $。
• 使用发散型随机积分（非Itô或路径黎曼-斯蒂尔杰斯积分）以确保解的存在性，并与最小二乘估计相容。
• 通过在区间 $[0, n\nu]$ 上对积分过程基于二次泛函最小化，推导出最小二乘估计量 $ \hat{\theta}_n $，并利用显式解 $ X_t = e^{-\alpha t} \left( \xi_0 + \int_0^t e^{\alpha s} L(s) ds - \sigma \int_0^t e^{\alpha s} dB_s^H \right) $。
• 通过将遍历定理应用于平稳解 $ \tilde{X}_t $，建立相合性，证明 $ n^{-1} \int_0^n X_t \phi_i(t) dt \to \mathbb{E}[\tilde{X}_t \phi_i(t)] $ 几乎必然成立。
• 通过分析 $ n^{1-H} (\hat{\vartheta}_n - \vartheta) $ 的极限分布来证明渐近正态性，将其简化为周期函数对分数布朗运动的归一化积分的收敛性。
• 应用依赖高斯随机变量的泛函中心极限定理，利用多重伊藤积分的等距公式及 $ B^H $ 的长程依赖结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在具有周期性均值函数和长程依赖性的分数阶Ornstein-Uhlenbeck过程中一致地估计漂移参数？
• RQ2 该模型中最小二乘估计量的渐近分布是什么？它与经典情形或非周期性分数阶情形有何不同？
• RQ3 为何收敛速度慢于 $ n^{1/2} $？周期性均值结构如何影响收敛速度与极限方差？

主要发现

• 在连续观测下当 $ n \to \infty $ 时，最小二乘估计量 $ \hat{\theta}_n $ 对漂移参数 $ \theta = (\mu_1, \dots, \mu_p, \alpha)^T $ 是相合的。
• $ n^{1-H} (\hat{\vartheta}_n - \vartheta) $ 的渐近分布为均值为零的多元正态分布，其协方差矩阵为 $ \sigma^2 C \Sigma_0 C $，其中 $ \Sigma_0 $ 反映了长程依赖结构。
• 收敛速度为 $ n^{1-H} $，由于周期性均值与长程依赖性的相互作用，该速度慢于经典情形的 $ n^{1/2} $ 速度。
• 极限协方差矩阵 $ \Sigma_0 $ 依赖于核函数 $ |t-s|^{2H-2} $，反映了分数布朗运动的长程依赖性，且不等于经典情形下信息矩阵的逆 $ C^{-1} $，与布朗运动情形不同。
• 分数布朗运动产生的平稳分量 $ \tilde{Z}_t $ 在极限分布中渐近消失，因此仅周期性均值函数 $ \tilde{h}(t) $ 与周期性函数 $ \phi_i $ 对极限方差有贡献。
• 极限方差为 $ \Sigma_0 = \left( \begin{smallmatrix} \bar{G} & -\bar{a} \\ -\bar{a}^T & \bar{b} \end{smallmatrix} \right) $，其中 $ \bar{G}_{ij} = \alpha^H H(2H-1) \int_0^1 \int_0^1 \phi_i(s)\phi_j(t) |t-s|^{2H-2} ds dt $，且 $ \bar{b} $ 涉及 $ \tilde{h}(t) $ 的自相关性。