[论文解读] Estimating nonlinearities in twophase flow in porous media

Jianfeng Zhang, Guy Chavent+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 9, 2009

Reservoir Engineering and Simulation Methods参考文献 24被引用 3

一句话总结

本文提出了一套几何非线性分析框架，用于在一维两相流通过多孔介质的实验中，通过逆向建模估算相对渗透率和毛管压力函数。结合线性和非线性稳定性分析与基于海塞矩阵的不确定性量化，结果表明非线性最小二乘问题为Q-适定，并为估计参数提供了精确的置信区域，且不确定性随测量密度增加而减小。

ABSTRACT

In order to analyze numerically inverse problems several techniques based on linear and nonlinear stability analysis are presented. These techniques are illustrated on the problem of estimating mobilities and capillary pressure in one-dimensional two-phase displacements in porous media that are performed in laboratories. This is an example of the problem of estimating nonlinear coefficients in a system of nonlinear partial differential equations.

研究动机与目标

• 开发一种稳健的数值框架，用于在多孔介质的实验条件下估算非线性系数——特别是相对渗透率和毛管压力。
• 解决由非线性偏微分方程控制的一维两相流中的参数估计逆问题。
• 利用均匀和方向性一阶稳定性估计，量化估计参数的不确定性。
• 证明非线性稳定性分析在实际实验环境中（测量有限）的应用可行性。
• 表明增加测量密度可提高参数稳定性并缩小不确定性边界。

提出的方法

• 采用基于达西定律的全局压力模型描述两相流，引入饱和度依赖的流动能力与毛管压力函数。
• 将逆问题重新表述为非线性最小二乘优化问题，以估算饱和度依赖的系数。
• 应用线性稳定性分析评估适定性，并在估计参数周围定义稳定性邻域。
• 采用基于海塞矩阵的几何分析方法，计算估计参数的置信区域与不确定性边界。
• 利用edgehog极值解计算置信区间，并验证解的稳定性。
• 通过合成数据进行数值验证，采用30组与90组饱和度测量值，比较不同测量密度下的不确定性边界。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用非线性稳定性分析评估多孔介质中两相流逆问题的适定性？
• RQ2 测量密度对估计的相对渗透率和毛管压力函数的稳定性与不确定性有何影响？
• RQ3 在精确度与实际相关性方面，均匀与方向性一阶不确定性估计有何差异？
• RQ4 在缺乏完整统计建模的情况下，几何非线性分析工具能否可靠地量化参数不确定性？
• RQ5 在何种条件下，参数估计的非线性最小二乘问题为Q-适定？

主要发现

• 当测量误差有界时，非线性最小二乘问题为Q-适定：对于30组测量，误差范数需满足≤1.11×10⁻³；对于90组测量，需满足≤1.7×10⁻²。
• 在每组测量的饱和度误差为7.3×10⁻⁵时，参数向量的均匀不确定性估计为∥δp∥ ≤ 0.0191（30组测量）与≤0.0027（90组测量）。
• 方向性一阶不确定性估计（不等式20）产生的不确定性区域显著小于均匀估计（不等式18），证实其具有更紧的边界。
• 不确定性区域与最优参数值p₀无关，但其大小取决于测量密度与误差幅度。
• 将测量数量从30组增加到90组，可使参数不确定性降低约7倍，表明稳定性显著提升。
• 基于海塞矩阵的几何分析方法可在无需完整贝叶斯推断或强统计假设的前提下，可靠地构建置信区域。