[论文解读] Estimating occupation time functionals

Randolf Altmeyer|arXiv (Cornell University)|Jun 11, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 24被引用 8

一句话总结

该论文提出了一种针对离散观测的 $d$-维 càdlàg 过程的占用时间泛函的强 $L^2$-逼近方法，其依赖于边际正则性而非马氏性。该方法建立了紧致的估计误差上界，且对于布朗运动而言，这些上界在至多小多项式因子范围内是精确的，并首次将其应用于分数布朗运动。

ABSTRACT

The strong $L^2$-approximation of occupation time functionals is studied with respect to discrete observations of a $d$-dimensional cadlag process. Upper bounds on the error are obtained under weak assumptions, generalizing previous results in the literature considerably. The approach relies on regularity for the marginals of the process and applies also to non-Markovian processes. The results are used to approximate occupation times and local times, which is done here for fractional Brownian motion for the first time. For Brownian motion, the upper bounds are shown to be sharp, up to arbitrarily small polynomial factors.

研究动机与目标

• 开发一种在离散采样下对 $d$-维 càdlàg 过程的占用时间泛函进行鲁棒 $L^2$-逼近的框架。
• 通过放宽假设（特别是避免对马氏结构的依赖）来推广先前的结果。
• 提供适用于非马氏过程（包括分数布朗运动）的误差界。
• 对于布朗运动，建立误差界的精确性（至多包含任意小的多项式因子）。
• 首次实现对分数布朗运动的局部时和占用时间的逼近。

提出的方法

• 利用过程有限维边际的正则性条件来推导误差界。
• 对过程的离散观测方案应用强 $L^2$-逼近技术。
• 在弱矩和连续性假设下，推导占用时间泛函估计器的 $L^2$-误差的上界。
• 通过将占用时间泛函分解为可测分量来控制逼近误差。
• 通过关注路径正则性和边际行为而非转移结构，将框架扩展至非马氏过程。
• 通过为布朗运动情形匹配低阶多项式因子来验证界的确切性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在对底层过程假设最少的前提下，如何对离散观测下的占用时间泛函进行逼近？
• RQ2 当过程为非马氏时，$L^2$-逼近占用时间的误差界可以建立为何种形式？
• RQ3 所推导的误差界对于标准扩散过程（如布朗运动）是否精确？
• RQ4 所提出的方法能否推广至自相似过程（如分数布朗运动）？
• RQ5 边际正则性在控制一般 càdlàg 过程逼近误差中的作用是什么？

主要发现

• 所提出的 $L^2$-逼近方法在弱假设下实现了估计误差的上界，显著推广了先前结果。
• 对于布朗运动，误差界被证明是精确的（至多包含任意小的多项式因子），确认了其紧致性。
• 该方法通过依赖有限维边际的正则性而非马氏转移律，适用于非马氏过程。
• 首次使分数布朗运动的局部时和占用时间的逼近成为可能。
• 该框架为马氏与非马氏过程（包括自相似过程）的占用时间估计提供了一体化方法。