[论文解读] Estimating the Entanglement Negativity from low-order moments of the partially transposed density matrix

Hilary A. Carteret|arXiv (Cornell University)|May 27, 2016

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 3

一句话总结

该论文提出了一种无需依赖模型的方法，仅通过部分转置密度矩阵的低阶矩即可估算两体量子系统的纠缠negativity。通过从这些矩构造主表示，推导出一系列上界和下界——使用三个副本可获得下界，使用四个副本可获得上界——即使在统计噪声或数据有限的情况下也能实现稳健的纠缠估计。

ABSTRACT

We show how to find families of infima and suprema for the entanglement negativity using only a few, low-order moments of the partially transposed density matrix $ρ^{T_2}.$ These moments can be measured using the multi-copy quantum circuits previously given by the author, which define a set of multi-copy expectation values and thus can be used with the replica trick. As such, these bounds are suitable for use with Quantum Monte Carlo methods, and the lower order versions of the estimates may be experimentally accessible for some systems. Using more moments for higher-order versions of these methods will produce tighter estimates, unless and until statistical noise causes the measurement of the highest order moment to fail. Should this happen, the data from lower order moments can still be used for lower-order estimates.

研究动机与目标

• 开发一种无需完整知晓部分转置密度矩阵谱信息即可估算纠缠negativity的方法。
• 仅利用密度矩阵的少数几个低阶矩，提供纠缠negativity的可计算上下界。
• 通过允许低阶估计在高阶矩失效时仍保持有效，确保在量子蒙特卡洛或实验设置中对统计噪声的鲁棒性。
• 使有限温度和混合态系统中纠缠标度和长程关联的研究成为可能。
• 探讨所推导的上下界是否可解释为纠缠单调量，或能否在量子线路中实现以用于纯化协议。

提出的方法

• 以部分转置密度矩阵 $\rho^{T_2}$ 的低阶矩（最高至四阶）作为输入，通过多副本量子线路或量子蒙特卡洛获得。
• 应用副本技巧，将 $\rho^{T_2}$ 的矩与其实幂的迹关联起来，形成用于特征值重构的方程组。
• 构建根位于 $a$、$\lambda_1$ 和 $\lambda_2$，权重分别为 $M_a$、$M_1$ 和 $M_2$ 的主表示，以建模特征值谱。
• 通过在矩方程 $c_j = \sum M_i \lambda_i^j$ 上进行高斯消元法求解权重，其中 $c_{2k} = \mu_{2k}$ 且 $c_{2k+1} = \nu_{2k+1}$。
• 利用公式 $\mathcal{N} = \frac{1}{2}((|\lambda_1| - \lambda_1)M_1 + M_a)$ 推导negativity的上下界，其中 $M_1$ 和 $M_a$ 由矩约束求解。
• 根据 $\lambda_1$ 的符号将上下界视为上确界或下确界，确保即使最小特征值的符号未知，结果依然有效。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否仅从部分转置密度矩阵的少数几个低阶矩可靠估算纠缠negativity？
• RQ2 如何在不掌握完整谱信息的情况下系统性地推导negativity的上下界？
• RQ3 当高阶矩因统计噪声而受损时，该方法是否仍能保持鲁棒性？
• RQ4 所推导的上下界是否为纠缠单调量，能否在量子线路中实现以用于纯化协议？
• RQ5 该方法能否检测有限温度系统中长程纠缠及对面积律的偏离？

主要发现

• 仅使用三个副本（即三阶矩）即可获得纠缠negativity的下界，使其在噪声或数据有限的环境中具有可及性。
• 使用四个副本（四阶矩）可实现negativity的上界，当高阶数据可用时可提供更紧致的估计。
• 即使最高阶矩因噪声而失效，该方法仍能正常运行，因为可从早期矩计算出低阶估计。
• 上下界通过主表示推导，该表示以 $a$、$\lambda_1$ 和 $\lambda_2$ 为根，权重由矩约束确定。
• 所得上下界表达式为显式形式，仅依赖于可测量的矩，且 $M_a$ 和 $M_1$ 在 $\mu_2, \nu_3, \mu_4, \lambda_1, \lambda_2, a$ 上具有闭式解。
• 该方法完全模型无关，适用于量子蒙特卡洛、实验设置以及混合态或有限温度系统。