[论文解读] Estimating the Probability of Meeting a Deadline in Hierarchical Plans

Liat Cohen, Solomon Eyal Shimony+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2015

Constraint Satisfaction and Optimization参考文献 22被引用 5

一句话总结

本文提出了一种确定性、多项式时间的近似算法，用于估计具有不确定任务持续时间的分层计划在给定截止时间前完成的概率。通过结合用于序列节点和并行节点的误差有界分箱技术，该方法提供了正式的加法误差界，并在准确性和运行时间上优于采样方法，其复杂度在计划规模和所需精度下呈多项式增长。

ABSTRACT

Given a hierarchical plan (or schedule) with uncertain task times, we propose a deterministic polynomial (time and memory) algorithm for estimating the probability that its meets a deadline, or, alternately, that its {\em makespan} is less than a given duration. Approximation is needed as it is known that this problem is NP-hard even for sequential plans (just, a sum of random variables). In addition, we show two new complexity results: (1) Counting the number of events that do not cross deadline is \#P-hard; (2)~Computing the expected makespan of a hierarchical plan is NP-hard. For the proposed approximation algorithm, we establish formal approximation bounds and show that the time and memory complexities grow polynomially with the required accuracy, the number of nodes in the plan, and with the size of the support of the random variables that represent the durations of the primitive tasks. We examine these approximation bounds empirically and demonstrate, using task networks taken from the literature, how our scheme outperforms sampling techniques and exact computation in terms of accuracy and run-time. As the empirical data shows much better error bounds than guaranteed, we also suggest a method for tightening the bounds in some cases.

研究动机与目标

• 开发一种高效的方法，用于估计在存在不确定任务持续时间的情况下，分层计划满足截止时间的概率。
• 解决在同时包含顺序和并行组合的作业网络中，截止时间概率估计的 NP-难问题。
• 提供相对于计划规模和精度要求呈多项式时间与内存复杂度的正式近似误差界。
• 与基于采样的方法和精确计算相比，展示在准确性和运行时间性能上的优越性。
• 建立新的复杂度结果：计数非截止时间事件的问题为 #P-难，计算混合顺序与并行节点的分层计划的期望完工时间的问题为 NP-难。

提出的方法

• 使用确定性的分箱技术来近似分层计划中完工时间的分布，分别处理序列节点和并行节点。
• 在每个节点上应用误差有界的概率质量函数（PMF）聚合，确保加法误差界在树中可预测地传播。
• 通过在原始任务持续时间的离散支持上使用动态规划，计算近似的累积分布函数（CDF）。
• 使用误差感知的合并技术，将相近的值合并，以减少状态空间，从而结合近似分布上的序列（求和）和并行（最大值）操作。
• 推导出形式化的加法误差界，其增长量与节点数量、随机变量的支持大小以及精度倒数呈多项式关系。
• 当实际观测误差低于保证值时，通过经验方式收紧理论误差界，从而提高实际准确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一种确定性、多项式时间的算法，可近似估计具有不确定任务持续时间的分层计划在截止时间前完成的概率？
• RQ2 此类近似的理论误差界是多少？其随计划规模和所需精度如何变化？
• RQ3 与基于采样的方法和精确计算相比，所提出方法在准确性和效率方面表现如何？
• RQ4 在这些计划中计数未超过截止时间的事件是否为 #P-难问题？
• RQ5 计算包含顺序与并行节点混合的分层计划的期望完工时间是否为 NP-难问题？

主要发现

• 即使对于仅包含顺序节点的计划，估计分层计划满足截止时间概率的问题也是 NP-难的。
• 计数未超过截止时间的事件数量的问题为 #P-难，确立了强大的复杂度下界。
• 即使对单一节点类型可高效精确计算，包含顺序与并行节点的分层计划的期望完工时间计算也是 NP-难的。
• 所提出的近似算法在节点数量、随机变量支持大小以及精度倒数方面均具有多项式时间与内存复杂度。
• 实验评估表明，实际误差显著低于理论边界，从而可实现更紧致的实际误差估计。
• 该方法在准确性和运行时间上均优于基于采样的方法，尤其在大型或复杂任务网络中表现更优。