[论文解读] Estimation in discretely observed Markov processes killed at a threshold

Enrico Bibbona, Susanne Ditlevsen|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2010

stochastic dynamics and bifurcation参考文献 35被引用 5

一句话总结

本文针对吸收于阈值的离散观测马尔可夫过程，发展了基于似然的推断方法，解决了标准方法中严重的偏差问题。提出精确似然计算与参数自展法以校正偏差，证明在均首达时间有限时，多个轨迹下估计量具有一致性和渐近正态性。

ABSTRACT

Parameter estimation in diffusion processes from discrete observations up to a first-hitting time is clearly of practical relevance, but does not seem to have been studied so far. In neuroscience, many models for the membrane potential evolution involve the presence of an upper threshold. Data are modeled as discretely observed diffusions which are killed when the threshold is reached. Statistical inference is often based on the misspecified likelihood ignoring the presence of the threshold causing severe bias, e.g. the bias incurred in the drift parameters of the Ornstein-Uhlenbeck model for biological relevant parameters can be up to 25-100%. We calculate or approximate the likelihood function of the killed process. When estimating from a single trajectory, considerable bias may still be present, and the distribution of the estimates can be heavily skewed and with a huge variance. Parametric bootstrap is effective in correcting the bias. Standard asymptotic results do not apply, but consistency and asymptotic normality may be recovered when multiple trajectories are observed, if the mean first-passage time through the threshold is finite. Numerical examples illustrate the results and an experimental data set of intracellular recordings of the membrane potential of a motoneuron is analyzed.

研究动机与目标

• 解决离散观测吸收于阈值的扩散过程参数估计中缺乏统计方法的问题。
• 识别并量化在标准似然推断中忽略吸收机制所引入的严重偏差。
• 为吸收过程构建似然函数，以实现准确的统计推断。
• 评估参数自展法在单轨迹估计中校正偏差的性能。
• 建立在多个轨迹观测下一致性和渐近正态性成立的条件。

提出的方法

• 推导马尔可夫过程在首次通过阈值时被吸收的精确似然函数。
• 利用吸收过程的转移密度，从离散观测中计算似然。
• 应用参数自展法校正单轨迹参数估计中的偏差。
• 利用首达时间与终端状态的联合分布，建模吸收条件下的似然。
• 在多个独立同分布轨迹下建立渐近性质，假设均首达时间为有限。
• 当精确计算不可行时，使用数值近似方法处理不可解的似然。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有吸收边界的一维扩散过程中，忽略吸收机制对参数估计有何影响？
• RQ2 离散观测的吸收扩散过程的精确似然函数形式为何？
• RQ3 参数自展法能否有效降低单条轨迹估计中的偏差？
• RQ4 标准渐近结果（一致性与渐近正态性）在吸收过程中于何种条件下成立？
• RQ5 所提出方法的有限样本性质在实践中与模型误设的似然方法相比如何？

主要发现

• 在似然推断中忽略阈值，会导致Ornstein-Uhlenbeck模型漂移参数估计产生高达25%–100%的偏差。
• 吸收过程的精确似然函数可利用吸收过程的转移密度进行计算或近似。
• 参数自展法显著降低了单轨迹估计中的偏差，而标准方法在此类情况下失效。
• 当观测到多个独立轨迹且均首达时间为有限时，估计量的一致性和渐近正态性得以恢复。
• 数值示例与运动神经元细胞内数据的分析证实，所提方法优于模型误设的似然方法。
• 基于单条轨迹的吸收过程模型下，参数估计的分布呈现严重偏斜且方差较高。