[论文解读] Estimation of Integrated Functionals of a Monotone Density

Rajarshi Mukherjee, Bodhisattva Sen|arXiv (Cornell University)|Aug 23, 2018

Statistical Methods and Inference被引用 2

一句话总结

本文建立了在 $[0,\infty)$ 上对单调非增密度的积分泛函的无调参插补估计量的渐近分布，使用 Grenander 估计量。在最小正则性假设下，证明了 $\pi$-一致性、渐近正态性以及半参数效率，包括无需光滑性、远离零处的正性或紧支集的要求。

ABSTRACT

In this paper we study estimation of integrated functionals of a monotone nonincreasing density $f$ on $[0,\infty)$. We find the exact asymptotic distribution of the natural (tuning parameter-free) plug-in estimator, based on the Grenander estimator. In particular, we show that the simple plug-in estimator is $\sqrt{n}$-consistent, asymptotically normal and is semiparametric efficient. Compared to the previous results on this topic (see e.g., Nickl (2008), Jankowski (2014), and Sohl (2015)) our results holds under minimal assumptions on the underlying $f$ --- we do not require $f$ to be (i) smooth, (ii) bounded away from $0$, or (iii) compactly supported. Further, when $f$ is the uniform distribution on a compact interval we explicitly characterize the asymptotic distribution of the plug-in estimator --- which now converges at a non-standard rate --- thereby extending the results in Groeneboom and Pyke (1983) for the case of the quadratic functional.

研究动机与目标

• 研究 $[0,\infty)$ 上单调非增密度的积分泛函的估计问题。
• 分析基于 Grenander 估计量的自然插补估计量的渐近性质。
• 建立估计量实现 $\pi$-一致性、渐近正态性及半参数效率的条件。
• 通过去除对密度光滑性、远离零处有界性以及紧支集的假设，拓展先前结果。
• 显式刻画当底层密度在紧区间上为均匀分布时的非标准渐近分布。

提出的方法

• 插补估计量直接从 Grenander 估计量构造，后者是单调密度的非参数最大似然估计量。
• 利用经验过程理论和弱收敛论证推导估计量的渐近分布。
• 分析利用了 Grenander 估计量收敛结构的特性，特别是其在定义域边界和内部的行为。
• 通过将估计量的方差与半参数下界比较，建立半参数效率。
• 对于均匀情形，通过非标准收敛速率刻画渐近分布，扩展了 Groeneboom 和 Pyke (1983) 的结果。
• 所有结果均在最小正则性条件下推导，避免了对光滑性、远离零处正性或紧支集的假设。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种最小条件下，单调密度积分泛函的插补估计量是 $\pi$-一致的？
• RQ2 当底层密度在紧区间上为均匀分布时，插补估计量的渐近分布是什么？
• RQ3 估计量在效率方面表现如何，是否实现了半参数效率？
• RQ4 能否在不假设密度光滑或远离零处有界的情况下，建立渐近正态性与效率？
• RQ5 与一般单调密度情形相比，均匀情形下的收敛速率有何不同？

主要发现

• 基于 Grenander 估计量的插补估计量对 $[0,\infty)$ 上单调非增密度的积分泛函具有 $\pi$-一致性。
• 在最小正则性假设下，估计量渐近正态，无需光滑性或远离零处有界性的要求。
• 估计量实现了半参数效率，其方差达到任意正规估计量的方差下界。
• 结果无需假设密度具有紧支集，扩展了先前要求此类限制的研究。
• 当底层密度在紧区间上为均匀分布时，估计量以非标准速率收敛，其渐近分布被显式刻画。
• 研究结果推广并强化了 Nickl (2008)、Jankowski (2014)、Sohl (2015) 以及 Groeneboom 和 Pyke (1983) 的早期成果，尤其在放宽正则性条件方面具有显著进展。