[论文解读] Estimation of mean residual life

W. J. Hall, Jon A. Wellner|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2017

Statistical Distribution Estimation and Applications被引用 6

一句话总结

本文通过在整個半直線 ℝ⁺ 上建立幾乎必然一致收斂性與弱收斂至高斯過程，拓展了 Yang（1978）關於非參數估計均殘留生命（MRL）函數的工作。本文推導了極限定義過程的變異數，並透過轉換至標準布朗運動構建同時信賴帶，從而實現對整個年齡範圍的非參數推論。

ABSTRACT

Yang (1978) considered an empirical estimate of the mean residual life function on a fixed finite interval. She proved it to be strongly uniformly consistent and (when appropriately standardized) weakly convergent to a Gaussian process. These results are extended to the whole half line, and the variance of the the limiting process is studied. Also, nonparametric simultaneous confidence bands for the mean residual life function are obtained by transforming the limiting process to Brownian motion.

研究动机与目标

• 將 Yang（1978）關於均殘留生命（MRL）估計的結果，從有限區間延伸至整個半直線 ℝ⁺。
• 在 ℝ⁺ 上建立經驗 MRL 評估器的幾乎必然一致收斂性與弱收斂至極限定義高斯過程。
• 描述極限定義過程的變異數，並分析其在 x → ∞ 時的行為。
• 利用時間-空間轉換將標準布朗運動轉換，構建 MRL 函數的非參數同時信賴帶。
• 為生存分析中 MRL 的推論提供理論基礎，特別是針對右尾行為與右刪失資料的推廣。

提出的方法

• 使用 Wellner（1977, 1978）與 Shorack（1972）的度量方法，將有限區間上的收斂性與弱收斂性結果推廣至 ℝ⁺。
• 定義經驗 MRL 評估器為基於經驗生存函數的超過 x 之額外存活時間的平均值。
• 推導極限定義過程的漸近變異數為 σ²(x)/F̄(x)，其中 σ²(x) 為殘留變異數，F̄(x) 為生存函數。
• 應用時間尺度轉換與狀態空間重新調整，將極限定義過程轉換為 [0,1] 上的標準布朗運動。
• 利用布朗運動的分佈性質構建 e(x) 的同時信賴帶。
• 提供弱收斂性的充分條件，並分析極限定義過程變異數的尾部行為。

实验结果

研究问题

• RQ1 經驗 MRL 評估器是否可在整個半直線 ℝ⁺ 上一致估計，而不僅限於固定有限區間？
• RQ2 經驗 MRL 評估器在 ℝ⁺ 上的漸近分佈為何？其極限定義高斯過程的變異數為何？
• RQ3 在非參數假設下，如何構建 MRL 函數的同時信賴帶？
• RQ4 當 x → ∞ 時，極限定義過程變異數的尾部性質為何？其與極值理論有何關聯？
• RQ5 如何將極限定義過程轉換為標準布朗運動，以實現實際推論？

主要发现

• 在正則條件下，經驗 MRL 評估器在 ℝ⁺ 上具有強一致收斂性，拓展了 Yang（1978）在有限區間的結果。
• 歸一化 MRL 評估器的極限定義過程為均值為零的高斯過程，其在每點 x 的變異數為 σ²(x)/F̄(x)。
• 極限定義過程的變異數隨 x → ∞ 而增長，並推導出其行為的充分條件，與 Balkema 和 de Haan（1974）的結果相關。
• 透過轉換可將極限定義過程映射至 [0,1] 上的標準布朗運動，進而可用於構建 e(x) 的同時信賴帶。
• 信賴帶在 ℝ⁺ 上均勻有效，且基於與布朗運動的分佈等價性構建。
• 以 Bjerkedal 的雪鼠存活資料為例進行說明，展現該方法在生存分析中的實際適用性。