[论文解读] Estimation of Scale and Hurst Parameters of Semi-Selfsimilar Processes

Saeid Rezakhah, Anne Philippe+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2012

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 27被引用 3

一句话总结

该论文提出了一种用于半自相似过程（具有平稳增量）中尺度参数 λ 和 Hurst 参数 H 的迭代估计方法，通过在由 λ^n 定义的尺度区间内使用移动样本方差实现。该方法通过方差聚类识别尺度转换点，实现了对 λ 和 H 的高精度估计。模拟结果表明，该方法在 H < 0.75 和 H ≥ 0.75 的情况下，均优于现有方法，且均方误差更低。

ABSTRACT

The characteristic feature of semi-selfsimilar process is the invariance of its finite dimensional distributions by certain dilation for specific scaling factor. Estimating the scale parameter $λ$ and the Hurst index of such processes is one of the fundamental problem in the literature. We present some iterative method for estimation of the scale and Hurst parameters which is addressed for semi-selfsimilar processes with stationary increments. This method is based on some flexible sampling scheme and evaluating sample variance of increments in each scale intervals $[λ^{n-1}, λ^n)$, $n\in \mathbb{N}$. For such iterative method we find the initial estimation for the scale parameter by evaluating cumulative sum of moving sample variances and also by evaluating sample variance of preceding and succeeding moving sample variance of increments. We also present a new efficient method for estimation of Hurst parameter of selfsimilar processes. As an example we introduce simple fractional Brownian motion (sfBm) which is semi-selfsimilar with stationary increments. We present some simulations and numerical evaluation to illustrate the results and to estimate the scale for sfBm as a semi-selfsimilar process. We also present another simulation and show the efficiency of our method in estimation of Hurst parameter by comparing its performance with some previous methods.

研究动机与目标

• 开发一种稳健的、迭代的估计方法，用于半自相似过程（具有平稳增量）中的尺度参数 λ。
• 提升自相似过程中 Hurst 参数估计的准确性，尤其在长程依赖存在的情况下。
• 提供一种计算高效且可实现的框架，用于基于离散采样方案的尺度与 Hurst 参数估计。
• 通过简单分数阶布朗运动（sfBm）的模拟验证该方法，其为具有平稳增量的典型半自相似过程。
• 在均方误差（MSE）方面，将所提方法与现有估计器（如二次变差和凸重排）进行比较。

提出的方法

• 该方法采用灵活的采样方案，将时间划分为区间 [λ^{n-1}, λ^n)，其中 n ∈ ℕ，基于对尺度参数 λ 的初始估计。
• 通过分析每个尺度区间内增量的移动样本方差，检测标记新区间开始的结构变化。
• 初始的 λ 估计值通过分析移动样本方差的累积和，并识别由公式 (4.2) 定义的统计量 S(z) 的极小值获得。
• 迭代优化步骤在初始估计值附近的密集 λ 值网格上评估 V(a_k)，由公式 (4.4) 定义，以定位全局最小值，从而获得最终的尺度估计值 λ*。
• 对于 Hurst 参数估计，该方法利用尺度区间间估计方差的比值，借助关系式 (λ*)^{H - H'} = μ̄*，反推出 H。
• 该方法应用于简单分数阶布朗运动（sfBm）的模拟路径，将其视为具有已知自相似结构的半自相似过程。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用离散采样，在具有平稳增量的半自相似过程中一致地估计尺度参数 λ？
• RQ2 基于样本方差行为，检测尺度区间之间转换点的最优方法是什么？
• RQ3 与现有方法相比，所提出的 λ 的迭代估计在准确性和效率方面表现如何？
• RQ4 所提出的 Hurst 参数估计方法是否能实现低于现有技术（如二次变差和凸重排）的均方误差？
• RQ5 该方法在不同 Hurst 参数 H 值下的表现如何，特别是在 H < 0.75 和 H ≥ 0.75 的范围内？

主要发现

• 在情况 1（H ≈ 0.898）中，该方法将尺度参数估计为 λ*₁ = 2.0000，初始估计值为 λ̃₁ = 1.9995，且在 H < 0.75 的情况下，其均方误差（MSE）低于竞争方法。
• 在情况 2（H ≈ 0.603）中，该方法将尺度参数估计为 λ*₂ = 4.0000，初始估计值为 λ̃₂ = 3.9998，且在 H ≥ 0.75 的情况下，表现出更优的 MSE 性能。
• 估计的 Hurst 参数差值分别为 H₁ − H′₁ = 0.7025 和 H₂ − H′₂ = 0.3976，与由 μ̄*₁ = 1.6273 和 μ̄*₂ = 1.7352 推导出的真实值非常接近。
• 最终的 Hurst 参数估计值为 Ĥ₁ = 0.8981 和 Ĥ₂ = 0.6031，而 H′₁ = 0.1957 和 H′₂ = 0.2039，显示出与底层过程的高度一致性。
• 通过 10,000 次样本和 500 次重复的模拟验证，所提方法在整个 H 范围内均实现了低于二次变差和凸重排方法的均方误差。
• 该方法计算效率高，易于实现，由于使用了移动样本方差和基于网格的最小化，计算开销极低。