[论文解读] Estimation of the Distribution of Random Parameters in Discrete Time Abstract Parabolic Systems with Unbounded Input and Output: Approximation and Convergence

Melike Sirlanci, Susan E. Luczak+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2018

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 30被引用 12

一句话总结

该论文为在具有无界输入和输出算子的无限维离散时间抽象抛物系统中估计随机参数分布，发展了一种有限维逼近与收敛性理论。通过在博赫纳空间的盖尔范德三元组中重新表述问题，并将随机参数视为空间变量，作者应用了状态-空间可变的特罗特尔-卡托半群逼近方法，证明了收敛性，并在扩散方程模型中实现了指数族密度的精确估计，且给出了可信带。

ABSTRACT

A finite dimensional abstract approximation and convergence theory is developed for estimation of the distribution of random parameters in infinite dimensional discrete time linear systems with dynamics described by regularly dissipative operators and involving, in general, unbounded input and output operators. By taking expectations, the system is re-cast as an equivalent abstract parabolic system in a Gelfand triple of Bochner spaces wherein the random parameters become new space-like variables. Estimating their distribution is now analogous to estimating a spatially varying coefficient in a standard deterministic parabolic system. The estimation problems are approximated by a sequence of finite dimensional problems. Convergence is established using a state space-varying version of the Trotter-Kato semigroup approximation theorem. Numerical results for a number of examples involving the estimation of exponential families of densities for random parameters in a diffusion equation with boundary input and output are presented and discussed.

研究动机与目标

• 为解决由于生理和环境因素的高个体间及事件间变异性，导致经皮酒精生物传感器数据（TAC）向血中酒精浓度（BrAC/BAC）转换的挑战。
• 通过将参数建模为具有未知分布的随机变量，克服确定性参数估计的局限性，从而实现通过可信带进行不确定性量化。
• 为在具有无界动力学的抽象抛物系统中估计随机参数的概率分布，开发一种具有收敛性保证的有限维逼近框架。
• 提供一种群体水平的前向模型，能够捕捉个体间及饮酒事件间的变异性，从而提升超越个体校准的泛化能力。

提出的方法

• 通过将随机参数视为额外的空间变量，将随机系统重新表述为在博赫纳空间的盖尔范德三元组中的等价确定性抽象抛物系统。
• 使用参数化的指数族密度（例如，截断的二元正态分布）来表示随机参数的分布，其参数通过优化方法估计。
• 通过在参数空间中使用分段常数或样条基函数的有限维子空间，对无限维估计问题进行逼近。
• 应用状态-空间可变的特罗特尔-卡托半群逼近定理，证明有限维逼近收敛于真实解。
• 使用数值积分求解状态方程与伴随方程，以计算梯度优化所需的偏导数。
• 通过Cholesky分解对协方差矩阵进行参数化，以确保优化过程中的正定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否开发一种有限维逼近方案，使其收敛于具有无界输入和输出算子的抽象抛物系统中随机参数的真实分布？
• RQ2 如何将随机参数概率分布的估计问题重新表述为确定性抛物型PDE框架下的空间系数估计问题？
• RQ3 在无限维设定下，利用半群理论对分布估计问题的逼近，能够建立何种收敛性保证？
• RQ4 该方法在多大程度上能从模拟数据中准确恢复已知分布（如二元正态分布）的真实参数？
• RQ5 该框架能否扩展至直接估计概率测度，而无需假设参数化密度形式？

主要发现

• 该方法成功估计了随机参数的二元正态分布的均值与协方差参数，且随着基函数数量的增加，观察到收敛性。
• 当 n=16，m₁=m₂=8 时，估计的均值为 [11.67, 9.86]，接近真实值 [12, 10]，估计的协方差矩阵为 [9.29, 3.03; 3.03, 5.21]，接近真实值 [9, 3; 3, 5]。
• 模型估计的联合密度与真实二元正态密度高度吻合，如图6.2（左侧面板）所示，证实了分布恢复的准确性。
• 从去卷积输入信号导出的75%可信带提供了可靠的不确定性估计，展示了该方法在不确定性量化方面的实用性。
• 通过在参数空间离散化中使用线性样条而非分段常数单元，可进一步提高收敛速率。
• 该框架支持直接估计群体水平模型并实现不确定性量化，为实现不依赖个体特异性校准的TAC到BrAC/BAC鲁棒去卷积提供了可行路径。