[论文解读] Estimation of the marginal expected shortfall under asymptotic independence

Juan‐Juan Cai, Eni Musta|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2017

Hydrology and Drought Analysis参考文献 13被引用 3

一句话总结

本文提出了一种在渐近独立且存在正相关关系下估计边际预期短缺（MES）的新方法，使用尾部依赖系数 η ∈ (1/2, 1)。在正则变体和二阶条件假设下，建立了该估计量的渐近正态性，使得即使在变量渐近独立但极端值联合出现频率较高时，也能对重尾风险进行有效的推断。

ABSTRACT

We study the asymptotic behavior of the marginal expected shortfall when the two random variables are asymptotic independent but positive associated, which is modeled by the so-called tail dependent coefficient. We construct an estimator of the marginal expected shortfall which is shown to be asymptotically normal. The finite sample performance of the estimator is investigated in a small simulation study. The method is also applied to estimate the expected amount of rainfall at a weather station given that there is a once every 100 years rainfall at another weather station nearby.

研究动机与目标

• 解决在渐近独立且存在正相关关系情况下，缺乏有效的边际预期短缺（MES）估计量的问题。
• 在两个风险因子渐近独立但通过正的尾部依赖系数 η 表现出强烈极值依赖关系时，构建一个理论基础坚实的 MES 估计量。
• 在尾部行为满足正则变体和二阶条件的假设下，建立所提估计量的渐近正态性。
• 为在重尾、渐近独立模型中进行 MES 推断提供一个框架，这些模型中传统方法失效。
• 通过模拟研究和对极端降雨数据的实际应用，说明该方法的适用性。

提出的方法

• 使用尾部依赖系数 η ∈ (1/2, 1) 建模联合尾部行为，以捕捉在渐近独立下的正相关关系。
• 假设随机变量 X 的边缘分布属于广义极值吸引域，意味着其右尾具有重尾特性，且正则变体参数 γ₁ > 0。
• 基于高阶顺序统计量定义估计量，使用阈值 k，满足当 n → ∞ 时 k/n → 0，以确保渐近有效性。
• 通过将 X 在 Y 的高阈值超额上的经验均值进行标准化，构造估计量，其中使用广义帕累托分布进行标准化。
• 通过证明归一化经验过程收敛到高斯过程，建立渐近正态性，依赖于弱收敛和矩条件。
• 利用关于尾部行为和极值依赖性的二阶条件（A1–A3）控制偏差，并确保收敛速度。

实验结果

研究问题

• RQ1 当两个风险因子渐近独立但存在正相关关系时，边际预期短缺（MES）的渐近行为如何？
• RQ2 在渐近独立且存在正尾部依赖关系的情况下，能否构建一个一致且渐近正态的 MES 估计量？
• RQ3 在何种正则性条件下，所提估计量可实现渐近正态性？
• RQ4 尾部依赖系数 η ∈ (1/2, 1) 如何影响 MES 渐近分布的速率和形式？
• RQ5 在现实场景中，特别是在重尾且极值弱依赖的情况下，该估计量的有限样本表现如何？

主要发现

• 在所假设的模型下，边际预期短缺（MES）收敛到一个非退化极限，其极限依赖于尾部依赖系数 η 和正则变体参数 γ₁。
• 所提出的 MES 估计量具有渐近正态性，收敛速度为 (n/k)^{-1/(2η) + 1/2}，其依赖于 η 和尾指数 γ₁。
• 估计量的渐近方差由一个涉及极限依赖函数 c(x,y) 的积分表征，具体为 σ²_N = -∑_{j,k=1}^M (a_j a_k)/(y_j y_k) ∫₀^∞ c(x, y_j ∧ y_k) d x^{-2γ₁}。
• 模拟研究证实，该估计量在有限样本下表现良好，且在不同 η 和 γ₁ 值下，置信区间覆盖概率接近名义水平。
• 在极端降雨数据的实际应用中，该方法成功估计了在邻近站点发生百年一遇事件时，某一站点的期望降雨量，展示了其实际应用价值。
• 理论结果表明，即使在渐近独立条件下，较强的正相关关系（η ∈ (1/2, 1)）仍可能导致 X 具有重尾时 MES 值较大，强调了在独立性之外建模极值依赖关系的重要性。