[论文解读] Estimation of the parameters of a stochastic logistic growth model

Fabien Campillo, Marc Joannides+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2013

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 23被引用 4

一句话总结

该论文提出了一种基于似然的估计方法，用于具有灭绝现象的随机逻辑斯蒂增长模型，采用完整的福克-普朗克方程来考虑在零处的吸收效应。该方法提出了改进的数值方案——有限差分法与蒙特卡洛方法，以应对灭绝时标准概率密度缺失的问题，从而实现对出生率、死亡率、逻辑斯蒂参数及噪声参数的参数推断，适用于离散的、可能已灭绝的种群数据。

ABSTRACT

We consider a stochastic logistic growth model involving both birth and death rates in the drift and diffusion coefficients for which extinction eventually occurs almost surely. The associated complete Fokker-Planck equation describing the law of the process is established and studied. We then use its solution to build a likelihood function for the unknown model parameters, when discretely sampled data is available. The existing estimation methods need adaptation in order to deal with the extinction problem. We propose such adaptations, based on the particular form of the Fokker-Planck equation, and we evaluate their performances with numerical simulations. In the same time, we explore the identifiability of the parameters which is a crucial problem for the corresponding deterministic (noise free) model.

研究动机与目标

• 解决现有随机逻辑斯蒂模型中缺乏考虑种群灭绝的参数估计方法的问题。
• 为具有在零处吸收边界（反映灭绝）的扩散过程，建立完整的福克-普朗克方程。
• 开发即使在数据中包含灭绝事件时依然有效的基于似然的推断程序。
• 研究随机模型中的参数可识别性，特别是区分出生率与死亡率的能力。
• 针对灭绝情形，改进数值方法（有限差分法与蒙特卡洛方法）以实现似然近似。

提出的方法

• 推导具有漂移项 $ b^\theta(x) = (\lambda - \mu - \alpha x)x $ 和扩散项 $ \sigma^\theta(x) = \rho \sqrt{(\lambda + \mu + \alpha x)x} $ 的扩散过程的完整福克-普朗克方程，同时考虑在 $ x=0 $ 处的吸收效应。
• 证明 $ x=0 $ 为吸收边界，即灭绝以概率1发生，并据此制定转移核。
• 基于福克-普朗克方程的解，构建适用于离散时间观测的似然函数。
• 改进有限差分格式，以数值求解在灭绝边界处具有适当边界条件的福克-普朗克方程。
• 应用蒙特卡洛方法，包括Pedersen估计器与布朗运动桥估计器，当精确解不可行时，近似转移密度。
• 利用数值积分与重要性采样技术，即使过程达到零，也能计算似然值。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为由于灭绝而在零处具有吸收态的随机逻辑斯蒂模型，建立福克-普朗克方程？
• RQ2 在数据中已发生灭绝的情况下，标准基于似然的估计方法需要做哪些修改？
• RQ3 在确定性模型中仅可观测到出生率与死亡率之差的前提下，能否在随机逻辑斯蒂模型中独立识别出生率与死亡率？
• RQ4 当过程可能触及零时，有限差分法与蒙特卡洛方法在近似转移密度方面有何表现差异？
• RQ5 在不同参数设置下，所提出的估计方法在偏差、方差与收敛性方面的表现如何？

主要发现

• 由于灭绝以概率1发生，该模型的福克-普朗克方程在零处包含一个狄拉克δ函数质量，因此必须采用超越标准密度方法的完整公式化。
• 所提出的似然函数基于完整的转移核，即使在观测到灭绝的情况下，也能实现有效的统计推断。
• 有限差分格式在正确处理零处吸收边界的情况下，成功近似了福克-普朗克方程的解。
• 蒙特卡洛方法，特别是布朗运动桥变体，在时间步长较小时及接近吸收状态时，显示出更优的似然估计精度。
• 数值模拟证实，该方法能一致地估计所有参数 $ \lambda, \mu, \alpha, \rho $，解决了确定性模型中存在参数不可识别的问题。
• 在发生灭绝的情境下，该方法优于标准最小二乘法，因为它充分利用了种群噪声与灭绝信息。